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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Passo 1

Nesse exercício, temos que determinar a convergência da integral imprópria

∫ 1 ∞ d x 1 + x ln ⁡ x

Para isso, o enunciado recomenda que façamos a comparação com

1 x + x ln ⁡ x

Passo 2

Vamos começar! Nossos limites estão entre 1 e ∞ . Então

x ≥ 1 > 0

Para esses valores de x sempre teremos

1 1 + x ln ⁡ x ≥ 1 x + x ln ⁡ x > 0

Se aplicarmos a integral nessa expressão

∫ 1 ∞ 1 1 + x ln ⁡ x d x ≥ ∫ 1 ∞ 1 x + x ln ⁡ x d x > 0

Passo 3

Vamos analisar então a convergência de

∫ 1 ∞ 1 x + x ln ⁡ x d x

Para isso, precisamos aplicar o limite

∫ 1 ∞ 1 x + x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 x + x ln ⁡ x d x

E resolver normalmente a integral

∫ 1 a 1 x + x ln ⁡ x d x

Para isso vamos precisar utilizar duas vezes o método da substituição. Primeiro vamos fazer

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

Então ficamos com

∫ 1 a 1 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x = ∫ 1 a 1 1 + u d u

Agora vamos utilizar a substituição

s = 1 + u

d s = d u

∫ 1 a 1 1 + u d u = ∫ 1 a 1 s d s

∫ 1 a 1 1 + u d u = ln ⁡ s

Refazendo as substituições

∫ 1 a 1 1 + u d u = ln ⁡ ( 1 + u )

∫ 1 a 1 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x = ln ⁡ ( 1 + ln ⁡ x )

Aplicando os limites de integração

∫ 1 a 1 x ( 1 + ln ⁡ x ) d x = ln ⁡ ( 1 + ln ⁡ a ) - ln ⁡ ( 1 + ln ⁡ 1 )

∫ 1 a 1 x 1 + ln ⁡ x d x = ln ⁡ ( 1 + ln ⁡ a )

Voltando para o limite

∫ 1 ∞ 1 x + x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 1 a 1 x + x ln ⁡ x d x

∫ 1 ∞ 1 x + x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ( 1 + ln ⁡ a )

∫ 1 ∞ 1 x + x ln ⁡ x d x = ∞

Passo 4

Mas lá no passo 2 tínhamos chegado à conclusão de que

∫ 1 ∞ 1 1 + x ln ⁡ x d x ≥ ∫ 1 ∞ 1 x + x ln ⁡ x d x > 0

E isso não é possível se

∫ 1 ∞ 1 x + x ln ⁡ x d x = ∞

Logo, a integral diverge.

Resposta

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