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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Lista 4.12 - Lista de Integrais – UFSC – Cálculo 1 – Questão 3b

Em cada item, determine a área da região R .

(b) ( R = { ( x , y ) ∈ R 2 | 0 ≤ y ≤ 1 x 3 + x e x ≥ 1 }

Passo 1

Falaeee, beleza? Olha.. tuuudo o que a questão pede é para calcularmos a área da curva de 1 x 3 + x ... Mas qual os intervalos da integração???

Se você perceber, x ≥ 1 , portanto:

A = ∫ 1 ∞ 1 x 3 + x d x

Como trata-se de uma integral imprópria, escrevemos da seguinte forma:

A = lim a → ∞   ⁡ ∫ 1 a 1 x ( x 2 + 1 ) d x

Passo 2

Primeiramente, através de frações parciais, podemos fazer o seguinte:

1 x x 2 + 1 = A x + B x + C x 2 + 1 ∴

A x 2 + 1 + B x + C x = 1 ∴

A + B x 2 + C x + A = 1

Logo, descobrimos que:

A = 1 B = - 1 C = 0

Substituindo, temos que:

1 x x 2 + 1 = 1 x - x x 2 + 1 ∴

Passo 3

Resolvendo a integral, temos:

A = lim a → ∞   ⁡ ∫ 1 a 1 x - x x 2 + 1 d x ∴

A = lim a → ∞   ⁡ ∫ 1 a 1 x d x - ∫ 1 a x x 2 + 1 d x ∴

A = lim a → ∞   ⁡ ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) a 1

Agora, vamos simplificar esses termos 😉

Passo 4

Pela propriedade do logaritmo, temos:

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 ∴

l i m x → ∞ ln ⁡ x - ln ⁡ x 2 + 1 ∴

l i m x → ∞ ln ⁡ x x 2 + 1 ∴

Simplificando mais ainda o denominador, temos:

l i m x → ∞ ln ⁡ x 1 2 + 1 x 2 ∴

l i m x → ∞ ln ⁡ 1 = 0

Passo 5

Agora, aplicando na equação do Passo 3, temos:

A = lim a → ∞   ⁡ ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 a 1 ∴

A = 0 - 0 - 1 2 ln ⁡ 2 ∴

A = ln ⁡ 2 2

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A = ln ⁡ 2 2

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