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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Discuta a convergência da integral impropria

∫ e ∞ d x x ln ⁡ x s

Passo 1

Temos uma integral definida com limite meio louco. Lembra como faz quando vai para infinito?

∫ e ∞ d x x ln ⁡ x s = lim a → + ∞ ⁡ ∫ e a d x x ln ⁡ x s

Tudo se resume a encontrar aquela integral, então vamos começar com

∫ d x x ln ⁡ x s

Repara que a derivada do logaritmo está ali, ela é 1 / x , então vamos usar essa substituição

u = ln ⁡ x

Agora vamos calcular sua diferencial

d u = 1 x d x

Agora vamos deixar como está na integral, neste caso já está igual

Agora vamos substituir na integral.

∫ d u u s = ∫ u - s d u

Esse s atrapalha tudo, mas quando ele realmente atrapalha?

Lembra da integral polinomial? Quando o expoente é igual a - 1 então ela é ln ⁡   quando não é fazemos o polinômio normalmente, então

∫ u - s d u = u - s + 1 - s + 1 s e   s ≠ 1 ln ⁡ u s e   s = 1

Vamos agora des-substituir o valor de u

ln ⁡ x - s + 1 - s + 1 s e   s ≠ 1 ln ⁡ ln ⁡ x s e   s = 1

Passo 2

Vamos começar olhando a convergência quando s = 1

Vamos ter

lim a → + ∞ ⁡ ∫ e a d x x ln ⁡ x s = lim a → + ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ ln ⁡ e = lim a → + ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ ln ⁡ e =

lim a → + ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a - ln ⁡ 1 = lim a → + ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a = ln ⁡ + ∞ = + ∞

Então para s = 1 ela diverge.

Passo 3

Vamos ver agora para a convergência quando s ≠ 1

Vamos ter

lim a → + ∞ ⁡ ∫ e a d x x ln ⁡ x s = lim a → + ∞ ⁡ ln ⁡ a - s + 1 - s + 1 - ln ⁡ e - s + 1 - s + 1 = lim a → + ∞ ⁡ ln ⁡ a - s + 1 - s + 1 - 1 - s + 1 - s + 1 =

lim a → + ∞ ⁡ ln ⁡ a - s + 1 - s + 1 - 1 1 - s = ln ⁡ + ∞ - s + 1 - s + 1 - 1 1 - s = + ∞ - s + 1 - s + 1 - 1 1 - s

Se o expoente do infinito for positivo então ele vai para infinito e diverge, ou seja, diverge para

- s + 1 > 0

s < 1

Se o expoente do infinito for negativo então ele vai para 0 e converge, ou seja, converge para

- s + 1 < 0

s > 1

Vamos ter então

s ≤ 1 ⟹ D i v e r g e s > 1 ⟹ C o n v e r g e

Resposta

s ≤ 1 ⟹ D i v e r g e s > 1 ⟹ C o n v e r g e

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