Integrais Impróprias
Calcule as integrais abaixo. Justifique as respostas.
Passo 1
O enunciado nos pede para calcular uma integral em que o limite superior de integração é infinito. Logo, trata-se de uma integral imprópria!
Para calcular uma integral imprópria, devemos substituí-la por uma integral definida e um limite, calcular a integral genérica normalmente e, depois, calcular o limite. Eventualmente, iremos ter que usar L’Hôspital para calcularmos o limite. Vamos ver como fica na prática.
Passo 2
Vamos calcular a integral normalmente e, depois, aplicar o limite:
Repare que temos uma função logarítmica multiplicando uma função polinomial. Vamos usar a integração por partes:
Substituindo:
Passo 3
Vamos calcular o limite:
Olhando para o limite que sobrou, verificamos uma indeterminação do tipo . Logo, podemos usar a regra de L’Hôspital. Basta derivar em cima e embaixo: