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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Integrais Impróprias

Calcule as integrais abaixo. Justifique as respostas.

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x   x 2 d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular uma integral em que o limite superior de integração é infinito. Logo, trata-se de uma integral imprópria!

Para calcular uma integral imprópria, devemos substituí-la por uma integral definida e um limite, calcular a integral genérica normalmente e, depois, calcular o limite. Eventualmente, iremos ter que usar L’Hôspital para calcularmos o limite. Vamos ver como fica na prática.

Passo 2

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x   x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 1 t   ln ⁡ x x 2 d x

Vamos calcular a integral normalmente e, depois, aplicar o limite:

∫ 1 t ln ⁡ x ⋅   x - 2 d x

Repare que temos uma função logarítmica multiplicando uma função polinomial. Vamos usar a integração por partes:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x     ( l o g a r í t m i c a ) d v = x - 2   d x → v = - x - 1     ( p o l i n o m i a l )

Substituindo:

∫ u ⋅ d v = u v - ∫ v d u

∫ 1 t ln ⁡ x ⋅ x - 2 d x = - ln ⁡ x x 1 t + ∫ 1 t d x x 2 =

= - ln ⁡ x x 1 t - 1 x 1 t = - ln ⁡ t t - ln ⁡ 1 1 - 1 t - 1 1 =

= 1 - ln ⁡ t t - 1 t

Passo 3

Vamos calcular o limite:

lim t → ∞ ⁡ 1 - ln ⁡ t t - 1 t = 1 - lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t t - 0 = 1 - lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t t

Olhando para o limite que sobrou, verificamos uma indeterminação do tipo ∞ ∞ . Logo, podemos usar a regra de L’Hôspital. Basta derivar em cima e embaixo:

1 - lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t t = 1 - lim t → ∞ ⁡ 1 t 1 = 1 - 0 = 1

Resposta

∫ 1 + ∞ ln ⁡ x   x 2 d x = 1

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