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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

UFABC – Funções de uma variável – Lista 11 – Questão 12g

Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:

g )   ∫ 2 ∞       1 x ln ⁡ x d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Precisamos resolver essa integral aqui

∫ 2 ∞       1 x ln ⁡ x d x

Você percebe que no limite superior temos uma indeterminação? Quando for assim, precisamos fazer um pequeno truque sujo: trocar o ∞ por uma constante, e aplicar por fora da integral o limite quando essa constante tende ao infinito

lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x

E agora?

Agora calculamos normalmente essa integral, com as técnicas que nós já conhecemos, e aplicamos os limites de integração

Vamos ficar com um resultado em termos de a , mas não tem problema! Vamos avaliar o limite quando a → ∞

Se o resultado for uma constante, isso significa que a integral converge

Se o resultado for ± ∞ , dizemos que a integral diverge

Beleza?

Mas fica tranquilo porque vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos resolver a integral definida que está dentro do limite

lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x

Essa aqui:

∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x

Como temos um ln ⁡ x no integrando e também 1 x d x , podemos usar a técnica de substituição simples

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

E os limites? Quando x = 2 :

u = ln ⁡ 2

Já quando x = a :

u = ln ⁡ a

Agora é só substituir e integrar! #partiu

∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x = ∫ ln ⁡ 2 ln ⁡ a 1 u d u = ln ⁡ u ln ⁡ 2 ln ⁡ a

∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x = ln ⁡ ( ln ⁡ a ) - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ln ⁡ ln ⁡ a ln ⁡ 2

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos a integral, vamos avaliar o limite quando a → ∞

lim a → ∞ ⁡ ∫ 2 a 1 x ln ⁡ x d x = lim a → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ a ln ⁡ 2 = ln ⁡ ( ∞ ) = ∞

Encontramos um resultado infinito! Isso significa que nossa integral é divergente

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

d i v e r g e n t e

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