Avalie se a integral imprópria
converge ou diverge. Se convergir, calcule o seu valor.
Passo 1
A gente pode reescrever essa integral dessa forma:
Dizer se essa integral converge ou diverge é dizer se esse limite dá um número ou explode para . E para calcular esse limite, faz sentido a gente calcular essa integral definida né:
Aí depois a gente faz para descobrir o valor do limite. Vem comigo!
Passo 2
Percebe que a integral tem um termo linear ali, o , e só tem um 1 no denominador. Isso são dicas de que a gente pode usar uma substituição simples. Vamos chamar o termo linear de . Olha como fica:
Substituindo essas coisas na integral:
Aí voltando para e aplicando nossos extremos de integração, já que :
Passo 3
Agora a gente substitui isso que achou no limite:
Repara que esse primeiro termo que tem o vai tender ao infinito e o segundo termo vai tender a um número. Imagina subtrair um número pequeno de um número gigante: o resultado continua dando um número gigante, né?
É isso que está acontecendo ali. A gente tá tirando um valor de algo que tende a infinito, então essa subtração que temos no limite vai tender a infinito. Aí a gente escreve:
A gente vê com isso que a nossa integral vai divergir, já que o limite explodiu para infinito. ☹
Resposta
Diverge