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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Calcule as integrais:

∫ 0 + ∞ e - x sin ⁡ x   d x

Passo 1

Bem, olha, vamos com calma. Primeiro a gente resolve de forma indefinida, depois aplica os limites de integração. Nota o seguinte galera, temos um produto de funções diferentes. Então seguindo a ordem do LIATE, temos que, numa integração por partes:

u = sin ⁡ x

d v = e - x d x

Derivando em cima e integrando em baixo, teremos:

d u = cos ⁡ x   d x

v = - e - x

Como essa técnica tem essa fórmula:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Ficaremos com:

∫ e - x sin ⁡ x   d x = - e - x sin ⁡ x + ∫ e - x cos ⁡ x   d x

Repetindo essa ideia pra integral que sobrou, teremos pelo LIATE:

u = cos ⁡ x

d v = e - x d x

E também:

d u = - sin ⁡ x   d x

v = - e - x

Nesse caso:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Viraria:

∫ e - x cos ⁡ x   d x = - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x sin ⁡ x   d x

E pronto, agora podemos juntar os dois resultados e fechar a integração indefinida:

∫ e - x sin ⁡ x   d x = - e - x sin ⁡ x + ∫ e - x cos ⁡ x   d x

∫ e - x cos ⁡ x   d x = - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x sin ⁡ x   d x

Resulta em:

∫ e - x sin ⁡ x   d x = - e - x sin ⁡ x + - e - x cos ⁡ x - ∫ e - x sin ⁡ x   d x

2 ∫ e - x sin ⁡ x   d x = - e - x sin ⁡ x - e - x cos ⁡ x

∫ e - x sin ⁡ x   d x = - e - x 2 sin ⁡ x + cos ⁡ x

Passo 2

Bora galera, ta acabando! Agora aplicamos os limites de integração. Mas como um deles é infinito, primeiro escrevemos da forma correta:

∫ 0 ∞ e - x sin ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t e - x sin ⁡ x   d x

Agora sim! Como sabemos o resultado da integral, vamos ter:

lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t e - x sin ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ - e - x 2 sin ⁡ x + cos ⁡ x x = 0 x = t

lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t e - x sin ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ - e - t 2 sin ⁡ t + cos ⁡ t - - e 0 2 sin ⁡ 0 + cos ⁡ 0

lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t e - x sin ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ - 1 2 e t sin ⁡ t + cos ⁡ t - - 1 2 0 + 1

lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t e - x sin ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ - 1 2 e t sin ⁡ t + cos ⁡ t + 1 2

Veja bem, apesar de sin ⁡ t , cos ⁡ t serem funções oscilatórias, sem limite no infinito, como estão sendo multiplicadas por - 1 2 e t e:

lim t → + ∞ ⁡ - 1 2 e t = 0

Podemos cortar essa parte da conta e achar:

lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t e - x sin ⁡ x   d x = 1 2

Temos então que a integral converge!

∫ 0 + ∞ e - x sin ⁡ x   d x = 1 2

Resposta

∫ 0 + ∞ e - x sin ⁡ x   d x = 1 2

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