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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Volume 2 - 7ª Edição – Capítulo 15 – Seção 4 – Exercício 41

(Capítulo 15.4 – Exercício 41) Utilize o resultado do Exercício 40 , parte (c), para calcular as seguintes integrais:

(a) ∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x

(b) ∫ 0 ∞ x e - x   d x

Passo 1

Faaala galera, ó, nessa questão vamos resolver duas integrais impróprias, mas aí temos que lembrar do resultado do exercício 40c, que era:

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π

Showww, vamos lá!

Passo 2

(a) Vamos resolver a integral:

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x

Podemos manipular um pouco as coisas, vamos escrever x 2 assim:

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = ∫ 0 ∞ 2 x . x 2 ( e - x 2 )   d x

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = ∫ 0 ∞ - 2 x . - x 2 ( e - x 2 )   d x

Então:

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = ∫ 0 ∞ - x 2 ( - 2 x e - x 2 )   d x

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = ∫ 0 ∞ - x 2 ( - 2 x e - x 2 )   d x

Usando integral por partes, temos:

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = - x 2 e - x 2 0 ∞ - ∫ 0 ∞ - 1 2 e - x 2 d x

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = 0 + 1 2   ∫ 0 ∞ e - x 2 d x

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = 1 2   . 1 2   ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x

Mas sabemos que ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x = π , então:

∫ 0 ∞ x 2 e - x 2   d x = 1 4 π

Passo 3

(b) Agora, queremos calcular essa integral

∫ 0 ∞ x e - x   d x

Vamos fazer uma mudança de variáveis:

u = x   ,                     x = u 2   ,                     d x = 2 u   d u

Então temos:

∫ 0 ∞ x e - x   d x = ∫ 0 ∞ 2 u 2 e - u 2 d u

∫ 0 ∞ x e - x   d x = 2 ∫ - ∞ ∞ u 2 e - u 2 d u

∫ 0 ∞ x e - x   d x = 2 ∫ - ∞ ∞ x 2 e - x 2 d x

Usando o resultado item anterior:

  2 ∫ - ∞ ∞ x 2 e - x 2 d x = 2   . 1 4 π = 1 2 π

E fimmm

Resposta

(a) 1 4 π

(b) 1 2 π

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