4) Determine se a integral
É convergente ou divergente
Passo 1
Eita, que integral assustadora! Sério, olha pra isso:
Bom, ela pode até ser assustadora, mas dá uma olhada nessa propriedade do cosseno:
Veja bem, a função é delimitada por valores que vão de até . Como na nossa integral temos , todo valor negativo vira positivo quando elevado ao quadrado. Ou seja:
Ok, mas e daí? Bem, olha só a função que ta dentro da integral:
Se olharmos bem, vemos que a função está multiplicando a outra função, que seria .
Agora pensa aqui comigo: se eu multiplico algo por um número entre e , obtenho um número menor do que o original! O mesmo vale pras funções, já que sabemos que está entre e . Resumindo a ópera, vamos ter:
Passo 2
Beleza, mas fomos parar numa inequação. Cadê a integral? Bem, vamos primeiro pegar a função mais simples da inequação, que é a sem função trigonométrica:
Já que estamos todos com saudades de integrar, vamos trazer então a integral de volta. Integrando com os mesmos limites de integração vamos ter:
Como limite de integração infinito não existe, vamos reescrever esse carinah aí pra:
E agora sim vamos resolver essa integral. Fazendo a substituição simples:
Vamos ter:
Né que a substituição simplificou as coisas. Resolvendo essa integral vamos ter:
Realizando o limite , ficamos com:
Ou seja, a integral vai ter o seguinte valor:
Passo 3
Vamos juntar então o que achamos nos passos anteriores:
Saca só. Se a integral da função sem o termo de fato converge e nos dá um número, e a função com o termo é sempre menor ou igual a outra, se fizéssemos:
Acharíamos uma área exatamente igual à quando:
E uma área sempre menor que quando
Sendo assim, resumimos a integral do enunciado para:
O que significa que a integral, de fato, converge! E é isso aí, esse exercício te ajudou? Respooooooondeaíííí.