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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

5. Determine o valor de α > 0 tal que

∫ 0 + ∞ e - α x - α 1 + x 2 d x = 0

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos uma questão de integral impropria, onde precisamos determinar o valor da constante α para satisfazer a condição

∫ 0 + ∞ e - α x - α 1 + x 2 d x = 0

E para quem não lembra, quando temos uma integral impropria, não podemos calcular o valor de infinito. Então aplicamos um limite para resolve-la, ou seja,

lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e - α x - α 1 + x 2 d x

Assim, conseguimos calcular essa integral e achar quanto vale α .

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar ajeitando essa integral, aplicando a propriedade de soma

∫ 0 + ∞ e - α x - α 1 + x 2 d x = ∫ 0 + ∞ e - α x d x - ∫ 0 + ∞ α 1 + x 2 d x = 0

Ou seja,

∫ 0 + ∞ e - α x d x = ∫ 0 + ∞ α 1 + x 2 d x

Agora vamos resolver cada integral e achar o nosso α .

Passo 3

Resolvendo a nossa primeira integral, ficamos com

∫ 0 + ∞ e - α x d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t e - α x d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 α e - α x 0 t = lim t → ∞ ⁡ - 1 α e - α t - 1

Resolvendo o limite,

lim t → ∞ ⁡ - 1 α e - α t - 1 = 1 α

Vamos para o próximo limite!

Passo 4

Resolvendo a segunda parte, ficamos com

∫ 0 + ∞ α 1 + x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 0 t α 1 + x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ α a r c t g   x 0 t = lim t → ∞ ⁡ α a r c t g   t

Resolvendo o limite,

lim t → ∞ ⁡ α a r c t g   t = α π 2

Lembrando que a tangente vai para infinito nos múltiplos de π 2

Passo 5

Para achar α tínhamos que

∫ 0 + ∞ e - α x d x = ∫ 0 + ∞ α 1 + x 2 d x

Substituindo,

1 α = α π 2

Isolando α , ficamos com

α 2 = 2 π → α = 2 π

Prontinho!

Resposta

α = 2 π

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