e)
Passo 1
Epa! A gente sempre começa um problema de integral imprópria definindo primeiro um limite:
Vamos resolver essa integral definida aí e ver no que dá quando aplicar o limite no resultado. Bora?
Podemos separar essa integral aí, em duas partes, pois , mas a gente só pode fazer isso se a gente esquecer que essa integral é definida, só por enquanto:
Passo 2
Bem, na primeira, podemos realizar uma substituição de por , logo . Substituindo tudo na integral:
Voltando com a variável original
Passo 3
Quanto a integral de , a gente pode notar que se derivarmos e integrarmos , ganhamos coisas simples de trabalhar, logo devemos fazer utilizando integração por partes, correto?
Lembrando que a integração por parte é
Onde a é sempre aquela fácil de derivar, nesse caso
E é a outra. Como já calculamos a integral de , podemos obter :
Logo,
Pelo passo anterior...
Passo 4
Voltando para a integral , teremos
Simplificando e lembrando que soma de constantes é uma única constante ...
Aplicando agora a determinação nesse resultado
Passo 5
Aplicando por fim aquele limite
Essa constante por propriedade de limite pode sair da integral, ou seja:
Quanto a esse limite, como temos que quando vai para o infinito temos algo do tipo , podemos utilizar , ou seja, vamos derivar em cima e em baixo.
Sabemos que esse limite é , pois o denominador vai para o infinito, logo