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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Integrais Impróprias

Calcule as seguintes integrais:

∫ e ∞ 1 u ( ln 3 ⁡ u + ln ⁡ u ) d u

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular uma integral em que o limite superior de integração é infinito. Logo, trata-se de uma integral imprópria!

Para calcular uma integral imprópria, devemos substituí-la por um limite, calcular a integral genérica normalmente e, depois, calcular o limite. Eventualmente, iremos ter que usar L’Hôspital para calcularmos o limite.

Nessa integral, percebemos que ln ⁡ ( u ) aparece muitas vezes. Seria interessante substituí-lo para simplificarmos a integral. Como a derivada de ln ⁡ ( u ) é 1 / u que também aparece no integrando, esse é um sinal que a substituição é válida!

Passo 2

∫ e ∞ 1 u ( ln 3 ⁡ u + ln ⁡ u ) d u = lim t → ∞ ⁡ ∫ e t 1 u ( ln 3 ⁡ u + ln ⁡ u ) d u

Vamos calcular a integral normalmente e, depois, aplicar o limite:

∫ e t 1 u ( ln 3 ⁡ u + ln ⁡ u ) d u

Vamos usar a seguinte substituição:

x = ln ⁡ ( u ) → d x = 1 u d u

ATENÇÃO!! Temos que mudar os limites de integração também!

u = t → x = ln ⁡ t

u = e → x = ln ⁡ e = 1

Aplicando:

∫ 1 ln ⁡ t d x x 3 + x = ∫ 1 ln ⁡ t d x x ( x 2 + 1 )

Passo 3

Como se trata de uma divisão de polinômios, vamos usar o método de integração por frações parciais:

1 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1

1 = A x 2 + 1 + B x 2 + C x

0 . x 2 + 0 . x + 1 = A + B x 2 + C x + A

Logo, temos: A = 1 ,   B = - 1 ,   C = 0

∫ 1 ln ⁡ t d x x x 2 + 1 = ∫ 1 ln ⁡ t d x x - ∫ 1 ln ⁡ t x x 2 + 1 d x =

= ln ⁡ x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 1 ln ⁡ t =

= ln ⁡ ln ⁡ t - 1 2 ln ⁡ ln 2 ⁡ t + 1 - ln ⁡ 1 - 1 2 ln ⁡ 2 =

ln ⁡ ln ⁡ t ln 2 ⁡ t + 1 + 1 2 ln ⁡ 2

Passo 4

Calculando o limite:

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ t ln 2 ⁡ t + 1 + 1 2 ln ⁡ 2 =

= ln ⁡ lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t ln 2 ⁡ t + 1 + 1 2 ln ⁡ 2

lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t ln 2 ⁡ t + 1 = lim t → ∞ ⁡ ln ⁡ t ln ⁡ t 1 + 1 ln 2 ⁡ t =

= lim t → ∞ ⁡ 1 1 + 1 ln 2 ⁡ t = 1

Logo:

ln ⁡ ( 1 ) + 1 2 ln ⁡ 2 = 0 + 1 2 ln ⁡ 2 = 1 2 ln ⁡ 2

Resposta

∫ e ∞ 1 u ( ln 3 ⁡ u + ln ⁡ u ) d u = 1 2 ln ⁡ 2

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