Calcule a seguinte integral imprópria
Passo 1
A primeira coisa que a gente tem que fazer é ficar de olho num conceito importante sobre integrais:
Eta, pera lá. Limite de integração infinito? Não rola né? Mas e se escrevêssemos assim:
Agora sim temos uma integral que dá pra calcular. Então vamos fazer o seguinte: primeiro integramos indefinidamente, depois aplicamos os limites de integração e depois aplicamos o limite , belê?
Passo 2
Bora lá calcular essa integral. Como temos funções de tipo diferentes sendo multiplicadas:
Talvez seja interessante a gente usar a integração por partes, ok? Vamos testar então. Sendo a integração por partes feita:
Vamos ter que escolher primeiro e . Se fizermos:
Substituimos então na fórmula da integração por partes:
Ok, mas e agora? Não ajudou em nada! Calma gafanhoto, pode até não ter dado certo, mas ainda. Porque veja bem, se pegarmos a integral:
E fizermos integração por partes de novo, a integral original:
Vai reaparecer. Quer ver? Seja:
Na fórmula da integração por partes, vamos ter:
Então juntando os dois resultados:
Vamos ter:
Passo 3
Show de bola, agora que terminamos de calcular a integral indefinida, vamos aplicar os limites de integração. Vamos ter:
Agora é só aplicar o limite
O segundo limite sai direto:
Já o primeiro, vamos olhar com calma:
Veja que, como e são funções cíclicas, não há um limite pra . Mas se a gente olhar bem, isso não vai importar muito porque por mais que seja impossível de saber que número dá quando , nesse limite, , e logo, vamos ter um número dividido por outro infinitamente grande. Sendo asism:
Passo 4
Agora é só juntar tudo que vimos:
Sendo assim: