Discuta a convergência de
Sugestão: Para , compare com ; para , calcule a integral; para , compare com
Passo 1
Temos uma integral definida com limite meio louco, vamos usar a sugestão que ele deu. Esse vai atrapalhar mais lá para frente, mas o próprio enunciado deu uma sugestão de como tratar esse . Vamos começar considerando , ele diz para comparar com a integral
Passo 2
Vamos começar calculando essa integral, lembrando que calculamos primeiro ela dessa forma
Depois tomamos o limite de indo para . Como
Passo 3
Vamos fazer o limite agora
Esse expoente é negativo, porque? Lembra que
Então
Isso nos diz que aquele valor de vai para então
E isso nos diz que a integral
Converge
Como temos nesse intervalo da integração, vamos ter
Lembra do teorema da comparação? Se a função que é maior convergir a menor também vai convergir, então
Para
Passo 4
Vamos analisar o caso onde
Essa integral vai virar o seguinte limite
Precisamos agora calcular a integral
Repara que a derivada de vai ser isso nos diz que devemos usar substituição simples, vamos ao seu passo a passo
Passo 5
Primeiro temos que identificar o que substituir
Agora devemos achar o seu diferencial
Agora devemos deixar igual ao que temos na integral, neste caso já está igual
Agora devemos substituir na integral
Vamos resolver essa nova integral
Precisamos des-substituir agora
Passo 6
Agora vamos ver como ficou o limite, primeiro vamos fazer a integral
O limite vai ficar
Logo a integral diverge para
Passo 7
Vamos agora ao último caso, . ele diz para comparar com a integral
Essa integral é a integral que acabamos de calcular, e ela vai divergir. Repara que
Com , então
Como a integral
Diverge, pelo teorema da comparação a integral
Para
Passo 8
Resumindo