Determine se a integral diverge ou converge e, nesse último caso, calcule a integral:

j )   ∫ 0 ∞       1 x + 1 d x

Passo 1

Oi, tudo bem? Precisamos resolver essa integral aqui

∫ 0 ∞       1 x + 1 d x

Você percebe que no limite superior temos uma indeterminação? Quando for assim, precisamos fazer um pequeno truque sujo: trocar o por uma constante, e aplicar por fora da integral o limite quando essa constante tende ao infinito

∫ 0 a       1 x + 1 d x  

E agora?

Agora calculamos normalmente essa integral, com as técnicas que nós já conhecemos, e aplicamos os limites de integração

Vamos ficar com um resultado em termos de a , mas não tem problema! Vamos avaliar o limite quando a → ∞

Se o resultado for uma constante, isso significa que a integral converge

Se o resultado for ± ∞ , dizemos que a integral diverge

Beleza?

Mas fica tranquilo porque vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Precisamos resolver a integral definida que está dentro do limite

∫ 0 a       1 x + 1 d x  

Essa aqui:

∫ 0 a 1 x + 1 d x

Como temos um x + 1 no integrando e também d x , podemos usar a técnica de substituição simples

u = x + 1

d u = d x

E os limites? Quando x = 0 :

u = 1

Já quando x = a :

u = a + 1

Agora é só substituir e integrar! #partiu

∫ 0 a 1 x + 1 d x = ∫ 1 a + 1 1 u d u = l n l n   u   1 a + 1

∫ 0 a 1 x + 1 d x = l n l n   ( a + 1 )   - l n l n   1   = l n l n   ( a + 1 )  

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Agora que calculamos a integral, vamos avaliar o limite quando a → ∞

∫ 0 a 1 x + 1 d x   = l n l n   ( a + 1 )     = l n l n   ( ∞ )   = ∞

Encontramos um resultado infinito! Isso significa que nossa integral é divergente

É isso pessoal!

Bora treinar mais?

Resposta

d i v e r g e n t e

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