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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

4b) Calcule o valor de ∫ 0 + ∞ d x x 2 + 2 x + 2

Passo 1

Antes de mais nada, vamos reescrever essa integral pra uma forma mais correta:

∫ 0 + ∞ d x x 2 + 2 x + 2 = lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a d x x 2 + 2 x + 2

Agora sim! Temos então três passos pra resolver e partir pro abraço:

  • Resolver a integral de forma indefinida
  • Aplicar os limites de integração
  • Aplicar o limite a → + ∞

Passo 2

Pra resolver essa integral de forma indefinida, bora olhar bem no fundo dos olhos dela e ver o seguinte: o denominador é quaaaaase um trinômio quadrado perfeito! Saca só essa modificada:

∫ d x x 2 + 2 x + 2 = ∫ d x x 2 + 2 x + 1 + 1 = ∫ d x x 2 + 2 x + 1 + 1 = ∫ d x x + 1 2 + 1

Se fizermos uma substituição simples aí, dá pra revelar uma integral clássica de resolução direta! Dá uma olhada:

u = x + 1

d u = d x

∫ d x x + 1 2 + 1 = ∫ d u u 2 + 1 = arctan ⁡ u = arctan ⁡ x + 1

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 a d x x 2 + 2 x + 2 = arctan ⁡ x + 1 x = 0 x = a

∫ 0 a d x x 2 + 2 x + 2 = arctan ⁡ a + 1 - arctan ⁡ 1 = arctan ⁡ a + 1 - π 4

E pra fechar, fazemos nosso último passo e partimos pro abraço!

lim a → + ∞ ⁡ ∫ 0 a d x x 2 + 2 x + 2 = lim a → + ∞ ⁡ arctan ⁡ a + 1 - π 4 = arctan ⁡ ∞ - π 4 = π 2 - π 4

Feshow!

Resposta

∫ 0 + ∞ d x x 2 + 2 x + 2 = π 2 - π 4

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