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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Discuta a convergência da integral imprópria.

∫ 1 ∞ sen ⁡ x x d x

(Use integração por partes na ∫ 1 t sen ⁡ x x d x   e depois passe o limite quando t → ∞ )

Passo 1

Vamos integrar por partes usando:

u = 1 x ⇒ d u = - 1 x 2 d x d v = sen ⁡ x d x ⇒ v = - cos ⁡ x

É o famoso LIATE, 1 x é Algébrica e sen ⁡ x é Trigonométrica.

Enfim, temos:

∫ 1 t sen ⁡ x x d x = - cos ⁡ x x 1 t - ∫ 1 t - cos ⁡ x - x 2 d x

= - cos ⁡ t t + cos ⁡ 1 - ∫ 1 t cos ⁡ x x 2 d x

Passo 2

Tomando o limite:

lim t → ∞ ⁡ - cos ⁡ t t + cos ⁡ 1 - ∫ 1 t cos ⁡ x x 2 d x = 0 + cos ⁡ 1 - ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 2 d x

Então agora temos que analisar a convergência da integral imprópria

∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 2 d x

Passo 3

E essa é bem mais fácil que a integral que tínhamos no começo. Isso porque podemos compará-la com:

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x

Que converge! Saca só:

∫ 1 ∞ 1 x 2 d x = lim b → ∞ ⁡ - 1 x 1 b = 0 + 1 = 1

Passo 4

E podemos aproveitar que o cosseno é limitado:

- 1 ≤ cos ⁡ x ≤ 1

cos ⁡ x ≤ 1

⇒ cos ⁡ x x 2 ≤ 1 x 2

E como ∫ 1 ∞ 1 x 2 d x é convergente, podemos afirmar que ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 2 d x também é convergente.

Passo 5

Estamos quase lá! Lembra desse teorema?

∫ 1 ∞ f x d x   é   c o n v e r g e n t e ⇒   ∫ 1 ∞ f x d x   é   c o n v e r g e n t e

E temos que cos ⁡ x x 2 = cos ⁡ x x 2   . Pronto, agora é só partir pro abraço! :D

Como ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 2 d x é convergente, pelo teorema aí de cima ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 2 d x também é.

Passo 6

Recapitulando:

∫ 1 ∞ sen ⁡ x x d x = cos ⁡ 1 - ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 2 d x

Sendo que ∫ 1 ∞ cos ⁡ x x 2 d x converge.

Portanto, ∫ 1 ∞ sen ⁡ x x d x também converge.

Resposta

A integral converge.

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