Discuta a convergência da integral imprópria.
(Use integração por partes na e depois passe o limite quando )
Passo 1
Vamos integrar por partes usando:
É o famoso LIATE, é Algébrica e é Trigonométrica.
Enfim, temos:
Passo 2
Tomando o limite:
Então agora temos que analisar a convergência da integral imprópria
Passo 3
E essa é bem mais fácil que a integral que tínhamos no começo. Isso porque podemos compará-la com:
Que converge! Saca só:
Passo 4
E podemos aproveitar que o cosseno é limitado:
E como é convergente, podemos afirmar que também é convergente.
Passo 5
Estamos quase lá! Lembra desse teorema?
E temos que . Pronto, agora é só partir pro abraço! :D
Como é convergente, pelo teorema aí de cima também é.
Passo 6
Recapitulando:
Sendo que converge.
Portanto, também converge.
Resposta
A integral converge.