UNICAMP. Cálculo 1. 2022.1 – 5º Noturno. P3. Questão 4.
Avalie a convergência da integral imprópria.
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão temos que calcular a integral da função entre os limites de integração a .
Opa! Temos como um dos limites de integração, ou seja, estamos lidando com uma integral imprópria. Portanto temos que calcular essa integral por uma maneira um pouquinho diferente.
Ta lembrado como calculamos uma integral imprópria? 🤔🤔
O segredo é substituir o por uma variável qualquer e aplicar a integral dentro de um limite quando a variável que escolhemos tende ao infinito.
Entendeu? No nosso caso fica assim
Assim a gente calcula a integral normalmente e depois calculamos o limite.
Interessante, não é? Bora lá! 😁😁
Passo 2
E agora, como vamos calcular essa integral?
Podemos reescrever a função de integração como , com isso, nossa integral fica
Assim vemos que podemos substituir por , dessa forma temos que adaptar os nossos limites de integração para essa mudança.
A princípio, tínhamos e , agora temos . Portanto temos que subtrair de cada limite de integração para satisfazer a igualdade de . Veja só
Entendeu?
Com isso, nossa integral será
Primeiro vamos integrar e depois aplicamos os limites de integração.
Integrando pelo método de integração polinomial, onde somamos na potência da e dividimos pelo resultado da soma na sua potência.
Simplificando a fração, temos
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Aplicando os limites de integração e
Simplificando o resultado, temos
Aplicando o limite que tínhamos determinado
Substituindo por
Você concorda que dentro da raiz temos algo que tende ao infinito? E qual é a raiz quarta do infinito? Infinito, não é?
Ou seja, o que temos é
Qualquer constante que subtraia do infinito, resulta no próprio infinito, portanto
Poderoso esse infinito, não é?
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
