Q03a) Calcule a integral abaixo:
Passo 1
Pra começar, essa forma de escrever integral professor nem gosta de ver. Então quando vemos uma integral imprópria assim a gente já vai lá e reescreve ela pra uma forma mais adequada:
Agora que escrevemos assim temos três passos pra resolver:
- Resolver a integral de forma indefinida
- Aplicar os limites de integração
- Aplicar o limite
Vamo que vamo então!
Passo 2
Partiu então resolver:
Bem, essa raiz ai dentro do é bem estranha né? Como trabalhar com ela? Bem, a gente tem que tentar sumir na verdade com ela porque não conhecemos a integral de nada elevado a raízes. Pra tentar sumir, bora substituir então para:
Desse jeito, derivando em relação à dos dois lados, vamos ter:
Aplicando essa substituição simples na integral, vamos ficar com:
Agora que sumimos com a raíz, ficou um pouco mais tranquilo, porque veja só! Ganhamos um produto de duas funções diferentes, um polinômio e uma exponencial . Sentiu cheirinho de integração por partes? Eu senti em! Sendo então:
A integração por partes, que segue o modelo:
Vai ficar:
E voltando pra variável original:
Passo 3
Agora, vamos aplicar os limites de integração e depois aplicar o limite mesmo de . Vamos ter:
Aplicando o limite então:
O limite que sobrou ali se substituirmos, vamos ver que vai dar uma indeterminação do tipo . Sendo assim, podemos realizar L’Hospital pra sumir com a indeterminação. Logo vamos ter:
Usando a regra da cadeia pra derivar e sabendo que , ficamos com:
E olha só! Agora a indeterminação sumiu, viu? Aplicando o limite vamos ter:
Fechado então! A integral vale: