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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Calcule as integrais:

∫ 0 + ∞ x arctan ⁡ x   d x

Passo 1

Uma coisa de cada vez galera, primeiro a gente resolve de forma indefinida depois aplica os limites de integração. Pra resolvermos essa integral e ser feliz temos que notar uma coisa importantíssima! Ela é um produto de funções diferentes! Isso ai é bem a cara de integração por partes, viu!? Seja ela:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Segundo a regrinha do LIATE, quem vai ditar quem é o u é a inversa trigonométrica, e não a algébrica! Sendo assim:

u = arctan ⁡ x → d u = 1 x 2 + 1   d x

d v = x   d x → v = x 2 2

Vamos ter:

∫ x arctan ⁡ x   d x = arctan ⁡ x x 2 2 - ∫ x 2 2   1 x 2 + 1   d x

Organizando pra ficar bonitinho, temos:

∫ x arctan ⁡ x   d x = x 2 arctan ⁡ x 2 - 1 2 ∫   x 2 x 2 + 1   d x

Meigo não?

Passo 2

Show, mas não acabamos, infelizmente ainda tem uma outra integral pra fazermos. Mas não se assuste, tiramos ela de letra se fizermos a seguinte manipulação:

∫   x 2 x 2 + 1   d x = ∫   x 2 + 1 - 1 x 2 + 1   d x = ∫   x 2 + 1 x 2 + 1 - 1 x 2 + 1   d x = ∫   1 - 1 x 2 + 1   d x

Pelas propriedades das integrais, podemos separar:

∫   x 2 x 2 + 1   d x = ∫   1 - 1 x 2 + 1   d x = ∫   1   d x - ∫   1 x 2 + 1   d x

Que são duas integrais de resolução direta!

∫   x 2 x 2 + 1   d x = x - arctan ⁡ x

E prontinho! Fechamos a integração, só juntar tudo:

∫ x arctan ⁡ x   d x = x 2 arctan ⁡ x 2 - 1 2 ∫   x 2 x 2 + 1   d x

∫ x arctan ⁡ x   d x = x 2 arctan ⁡ x 2 - x - arctan ⁡ x 2

∫ x arctan ⁡ x   d x = x 2 arctan ⁡ x 2 - x 2 + arctan ⁡ x 2

Passo 3

Essa é a hora que a gente aplica os limites de integração. Bom, pra começar, a gente tem que reescrever pra uma forma mais correta:

∫ 0 + ∞ x arctan ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ ∫ 0 t x arctan ⁡ x   d x

Resolvendo, temos:

∫ 0 + ∞ x arctan ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ x 2 arctan ⁡ x 2 - x 2 + arctan ⁡ x 2 x = 0 x = t

∫ 0 + ∞ x arctan ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ t 2 arctan ⁡ t 2 - t 2 + arctan ⁡ t 2 - 0 - 0 + 0

∫ 0 + ∞ x arctan ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ t 2 arctan ⁡ t 2 - t 2 + arctan ⁡ t 2

Pra gente visualizar esse limite, vamos por t 2 em evidência:

∫ 0 + ∞ x arctan ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ t 2 t arctan ⁡ t - 1 + arctan ⁡ t 2

Aplicando agora, temos:

∫ 0 + ∞ x arctan ⁡ x   d x = lim t → + ∞ ⁡ + ∞ + ∞ ∙ π 2 - 1 + 1 2 ∙ π 2 = + ∞

É, infelizmente não foi hoje que achamos uma integral que converge!

Resposta

∫ 0 + ∞ x arctan ⁡ x   d x → D i v e r g e

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