UNICAMP – Sem campus – Cálculo I – P3 – 2022.1 5º Vespertino – 4
Avalie a convergência da integral imprópria
Passo 1
Fala aí turminha, tudo bem? Vamo que vamo pra cima dessa questão.
Basicamente, precisamos analisar se:
é convergente, ou não. Ou seja, se o resultado dessa integral imprópria é um número finito.
A principal ideia dessa questão de convergência em integrais impróprias se dá em aplicarmos a definição de integral imprópria. Por definição, temos que:
Aqui, a primeira coisa a se fazer é resolver a integral. Depois disso, aplicaremos o valor do limite. Bora pro passo 2!
Passo 2
Para essa integral, como você resolveria? Por aqui vamos resolver com o método de integração por partes. Para todo , fazendo integração por partes, temos que:
Ao deixarmos como termo em comum, temos:
Ou ainda:
Passo 3
Agora, ainda segundo o método da definição, aplicaremos o limite pra esse valor da integral que acabamos de achar! Saca só:
Portanto, temos esse limite aqui:
Retirando esses termos auxiliares (produto por e a soma ):
E resolvendo o limite:
Usando L’Hospital, derivaremos em cima e em baixo:
Aplicando o valor do limite:
Passo 4
Pra finalizar, vamos voltar com os termos auxiliares que a gente retirou:
Logo,
E finalmente:
Daqui tiramos duas conclusões. Primeiro que a integral impropria é convergente (pois o limite existe), e que ela é igual a 1. E é isso galerinha do bem! Se ficou alguma dúvida, pode nos mandar um feedback que teremos o maior prazer em te ajudar. Até a próxima e bons estudos!
Resposta
Convergente. Igual a .