Avalie a convergência da integral imprópria

∫ 0 ∞ x e - x d x

Passo 1

Fala aí turminha, tudo bem? Vamo que vamo pra cima dessa questão.

Basicamente, precisamos analisar se:

∫ 0 ∞ x e - x d x

é convergente, ou não. Ou seja, se o resultado dessa integral imprópria é um número finito.

A principal ideia dessa questão de convergência em integrais impróprias se dá em aplicarmos a definição de integral imprópria. Por definição, temos que:

∫ 0 ∞ x e - x d x = ∫ 0 n x e - x d x  

Aqui, a primeira coisa a se fazer é resolver a integral. Depois disso, aplicaremos o valor do limite. Bora pro passo 2!

Passo 2

Para essa integral, como você resolveria? Por aqui vamos resolver com o método de integração por partes. Para todo b > 0 , fazendo integração por partes, temos que:

∫ 0 n x e - x d x = x - 1 e - x ​ | 0 n   -   ∫ 0 n ( - 1 ) e - x

∫ 0 n x e - x d x = - n e - n +   ∫ 0 n e - x

∫ 0 n x e - x d x = - n e - n + ( - 1 ) ( e - n - 1 )

Ao deixarmos - 1 como termo em comum, temos:

- n e - n + - 1 e - n - 1 = - 1 ( n e - n + e - n - 1 )

Ou ainda:

- n e - n + - 1 e - n - 1 = - n + 1 e - n + 1

Passo 3

Agora, ainda segundo o método da definição, aplicaremos o limite pra esse valor da integral que acabamos de achar! Saca só:

∫ 0 n x e - x d x = - n + 1 e - n + 1

∫ 0 n x e - x d x   = l i m n → ∞ - n + 1 e - n + 1  

Portanto, temos esse limite aqui:

l i m n → ∞ - n + 1 e - n + 1

Retirando esses termos auxiliares (produto por - 1 e a soma + 1 ):

l i m n → ∞ n + 1 e - n

E resolvendo o limite:

l i m n → ∞ n + 1 e - n = l i m n → ∞ n + 1 e n

Usando L’Hospital, derivaremos em cima e em baixo:

l i m n → ∞ ( n + 1 ) ' ( e n ) ' = l i m n → ∞ 1 e n

Aplicando o valor do limite:

l i m n → ∞ 1 e n = 0

Passo 4

Pra finalizar, vamos voltar com os termos auxiliares que a gente retirou:

∫ 0 ∞ x e - x d x = l i m n → ∞ ( - 1 ) n + 1 e - n   + 1

Logo,

∫ 0 ∞ x e - x d x = l i m n → ∞ - 1 ⋅ 0   + 1

E finalmente:

∫ 0 ∞ x e - x d x = 1

Daqui tiramos duas conclusões. Primeiro que a integral impropria é convergente (pois o limite existe), e que ela é igual a 1. E é isso galerinha do bem! Se ficou alguma dúvida, pode nos mandar um feedback que teremos o maior prazer em te ajudar. Até a próxima e bons estudos!

Resposta

Convergente. Igual a 1 .

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