Considere a região infinita limitada pela curva
e pelo eixo . Escreva uma integral que represente a área de e determine, sem calcular a integral, se essa região tem a área finita ou infinita. Justifique sua resposta.
Passo 1
Ora, o enunciado nos fala de uma região limitada pela curva e pelo eixo . Essa região é a área entre a curva e o eixo , ou seja, a integral de .
Como os limites de integração são infinitos, trata-se de uma integral imprópria!
O problema quer saber se essa região tem área finita ou infinita. Ou seja, quer saber se o resultado da integral imprópria é um número ou é infinito, ou melhor, se a integral é convergente ou divergente.
Repare, também, que o enunciado nos diz para não calcular a integral. Como vamos saber se a integral é convergente ou divergente sem calculá-la? Vamos usar o Teorema de Comparação!
Queremos saber se a seguinte integral imprópria é convergente ou divergente:
Temos que usar o Teorema de Comparação que diz que se , então:
1. Se é convergente, então será convergente também.
2. Se é divergente, então será divergente também.
Logo, o problema consiste em acharmos uma para que possamos comparar com a função dada e decobrir a convergência ou divergência dela.
Passo 2
Repare que . Logo, essa função é par e:
Vamos dividir a integral em duas:
Passo 3
A primeira integral converge e dá um número (é uma integral definida). Vamos analisar se a segunda converge. Temos que:
Para :
Como
Se a integral de converge, então, converge e, consequentemente:
OBS:
Em problemas de convergência em que não podemos calcular a integral (seja porque o enunciado pede ou porque é difícil de calcular), temos que usar o Teorema de Comparação.
Como fizemos aqui:
O melhor jeito de comparar é especificar um intervalo (ex: ), onde a função se comporta de maneira previsível e ir comparando aos poucos até chegar em uma função muito simples.