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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 12 use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que convergem.

12)

∫ 0 ∞ e - s t senh ⁡ t d t ,             s > 1

Passo 1

Bem, a integral que estamos calculando, embora imprópria, é bem tranquila de se calcular. Então podemos calcula-la como integral indefinida

∫ e - s t senh ⁡ t d t

E depois nos preocuparmos com a esses limites loucos? Ok?

Passo 2

O seno hiperbólico tem uma cara bem legal: ele é uma combinação de exponenciais dessa forma:

senh ⁡ t = e t - e - t 2

Substituindo...

∫ e - s t senh ⁡ t d t = ∫ e - s t e t - e - t 2 d t =

1 2 ∫ e t e - s t - e - t e - s t d t = 1 2 ∫ e t 1 - s - e - t 1 + s d t

Separando a integral em duas...

1 2 ∫ e t 1 - s - e - t 1 + s d t = 1 2 ∫ e t 1 - s d t - 1 2 ∫ e - t 1 + s d t

Considerando o s como uma constante perante a variável de integração, o t , podemos resolver essas duas integrais separadamente fazendo substituições simples. Bora lá:

Passo 3

∫ e t 1 - s d t

Chamando t 1 - s de a

t 1 - s = a

Derivando em relação ao t para obter o d t ...

d a = 1 - s d t           o u         d t = d a 1 - s

Logo...

∫ e t 1 - s d t = ∫ e a d a 1 - s =

1 1 - s ∫ e a d a =

e a 1 - s

Voltando para a variável original desfazendo a troca de a = t 1 - s ...

∫ e t 1 - s d t = e t 1 - s 1 - s

Passo 4

Calculando a outra de uma forma semelhante...

∫ e - t 1 + s d t

- t 1 + s = b

Então...

d b = - 1 + s d t     →           d t = - d b 1 + s

∫ e - t 1 + s d t = ∫ e b - d b 1 + s =

- 1 1 + s ∫ e b d b = - e b 1 + s

Trocando para a variável original...

∫ e - t 1 + s d t = - e - t 1 + s 1 + s

Passo 5

Juntando tudo como vimos no passo 2 ...

∫ e - s t senh ⁡ t d t = 1 2 ∫ e t 1 - s d t - 1 2 ∫ e - t 1 + s d t

∫ e - s t senh ⁡ t d t = 1 2 e t 1 - s 1 - s - 1 2 - e - t 1 + s 1 + s =

∫ e - s t senh ⁡ t d t = e t 1 - s 2 1 - s + e - t 1 + s 2 1 + s

Agora lembre-se: o que queremos na realidade é analisar a convergência na integral imprópria:

∫ 0 ∞ e - s t senh ⁡ t d t ,             s > 1

Como o limite é um conceito, tomemos um x no lugar do infinito, mas com x tendendo ao infinito...

∫ 0 ∞ e - s t senh ⁡ t d t = lim x → ∞ ⁡ ∫ 0 x e - s t senh ⁡ t d t =

lim x → ∞ ⁡ e t 1 - s 2 1 - s + e - t 1 + s 2 1 + s 0 x =

Substituindo os limites de integração em t ...

lim x → ∞ ⁡ e x 1 - s 2 1 - s + e - x 1 + s 2 1 + s - e 0 2 1 - s + e 0 2 1 + s =

lim x → ∞ ⁡ e x 1 - s 2 1 - s + e - x 1 + s 2 1 + s - 1 2 1 - s + 1 2 1 + s =

Então, para calcular esse limite, utilizemos de uma informação importante:

s > 1

Se S é maior que 1 , então 1 - s é negativo fazendo jogarmos a e x 1 - s para baixo positiva. Enquanto isso 1 + s é positiva, então vamos jogar a outra exponencial pra baixo também invertendo o sinal:

lim x → ∞ ⁡ 1 2 1 - s e - x 1 - s + 1 2 1 + s e x 1 + s - 1 2 1 - s + 1 2 1 + s =

lim x → ∞ ⁡ 1 2 1 - s e x s - 1 + 1 2 1 + s e x 1 + s - 1 2 1 - s + 1 2 1 + s =

Quando x vai para o infinito, as exponenciais também vão, fazendo o as frações irem a 0 ...

lim x → ∞ ⁡ 0 + 0 - 1 2 1 - s + 1 2 1 + s = - 1 2 1 - s + 1 2 1 + s

Simplificando um pouco...

- 1 2 1 - s + 1 2 1 + s = - 1 2 1 - s - 1 2 1 + s =

1 2 s - 1 - 1 2 s + 1 = s + 1 - s - 1 2 s - 1 s + 1 =

2 2 s - 1 s + 1 = 1 s 2 - 1

E esse é o valor da integral imprópria

∫ 0 ∞ e - s t senh ⁡ t d t = 1 s 2 - 1

Resposta

Integral convergente

1 s 2 - 1

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