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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Analise a convergência da integral imprópria

∫ 1 ∞ 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x

Passo 1

Temos uma integral imprópria, pois um dos limites de integração é infinito. A função 1 x 4 s e n   1 x é contínua no intervalo de integração [ 1 , + ∞ ) dado, então tá sussa!

Ele pede para analisarmos a convergência. Basicamente, vamos calcular o limite dessa integral e ver se o limite dá um número finito. Se sim, então a integral é convergente. Se ao calcular o limite obtivermos um valor do tipo ± ∞ , a integral é divergente. Vamos seguir o barco?

Passo 2

Já sabemos que quando temos uma integral imprópria com limite superior ∞ , fazemos isso aqui:

∫ a ∞ f x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ a b f x d x

Então:

∫ 1 ∞ 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 1 b 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x

Para resolver, eu vou achar a primitiva

∫ 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x

E depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo – Parte 2 e então calcular o limite. Para calcular a primitiva, a primeira coisa que vou fazer é uma substituição para facilitar a vida. Acompanha aqui.

t = 1 x → d t =   - 1 x 2 d x

E é ai que entre a mágica! Veja só, podemos chamar:

1 x 4 =   - 1 x 2 - 1 x 2

- 1 x 2 = - 1 x 1 x = - t 2

Aplicando essas igualdades na integral, chegamos à:

∫ 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = ∫ - 1 x 2 - 1 x 2 sen ⁡ 1 x d x = ∫ - 1 x 2 sen ⁡ 1 x   - 1 x 2 d x

∫ 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = ∫ -   t 2 sen ⁡ t   d t

Passo 3

E agora? Essa integral sai por partes, concorda?

∫ - t 2 s e n   t   d t  

Pela nossa regrinha do LIATE, eu devo chamar de u o polinômio t 2 e de d v a função trigonométrica s e n   t   d t

u = - t 2 → d u = - 2 t   d t

d v = s e n   t   d t → v = ∫ s e n   t   d t → v = - cos ⁡ t

Como a integração por partes segue o modelo:

∫ u   d v   = u v - ∫ v   d u  

Vamos ter:

∫ - t 2 s e n   t   d t   = - t 2 - cos ⁡ t - ∫ - cos ⁡ t   - 2 t   d t  

∫ - t 2 s e n   t   d t   = t 2 cos ⁡ t - ∫ 2 t cos ⁡ t   d t  

Passo 4

A integral ∫ 2 t cos ⁡ t   d t   é resolvida aplicando-se partes novamente:

u = 2 t → d u = 2   d t

d v = cos ⁡ t   d t → v = ∫ c o s   t   d t → v = s e n   t

Como a integração por partes segue o modelo:

∫ u   d v   = u v - ∫ v   d u  

Vamos ter:

∫ 2 t cos ⁡ t   d t   = 2 t sin ⁡ t - ∫ 2 sin ⁡ t   d t  

∫ 2 t cos ⁡ t   d t   = 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t

Passo 5

Substituindo:

∫ - t 2 s e n   t   d t   = t 2 cos ⁡ t - ∫ 2 t cos ⁡ t   d t  

∫ 2 t cos ⁡ t   d t   = 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t

Temos:

∫ - t 2 s e n   t   d t   = t 2 cos ⁡ t - 2 t sin ⁡ t + 2 cos ⁡ t

∫ - t 2 s e n   t   d t   = t 2 cos ⁡ t - 2 t sin ⁡ t - 2 cos ⁡ t

Voltando para a variável x :

∫ 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x =   1 x 2 cos ⁡ 1 x - 2 1 x sin ⁡ 1 x - 2 cos ⁡ 1 x

∫ 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x =   cos ⁡ 1 x x 2 - 2 sin ⁡ 1 x x - 2 cos ⁡ 1 x

Passo 6

Ok. Agora aplicamos o TFC-Parte 2:

∫ 1 b 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = cos ⁡ 1 b b 2 - 2 sin ⁡ 1 b b - 2 cos ⁡ 1 b - cos ⁡ 1 1 1 2 - 2 sin ⁡ 1 1 1 - 2 cos ⁡ 1 1

∫ 1 b 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = cos ⁡ 1 b b 2 - 2 sin ⁡ 1 b b - 2 cos ⁡ 1 b - cos ⁡ 1 - 2 sin ⁡ 1 - 2 cos ⁡ 1

∫ 1 b 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = cos ⁡ 1 b b 2 - 2 sin ⁡ 1 b b - 2 cos ⁡ 1 b - - cos ⁡ 1 - 2 sin ⁡ 1

∫ 1 b 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = cos ⁡ 1 b b 2 - 2 sin ⁡ 1 b b - 2 cos ⁡ 1 b + cos ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 1

Passo 7

E calculamos o limite:

l i m b → ∞ ∫ 1 b 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = l i m b → ∞ cos ⁡ 1 b b 2 - 2 sin ⁡ 1 b b - 2 cos ⁡ 1 b + cos ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 1

= l i m b → ∞ cos ⁡ 1 b b 2 - 2   l i m b → ∞ sin ⁡ 1 b b - 2 lim b → ∞ cos ⁡ 1 b + cos ⁡ 1 + 2 sin ⁡ 1

Temos que

l i m b → ∞ cos ⁡ 1 b b 2 = 0

l i m b → ∞ sin ⁡ 1 b b = 0

lim b → ∞ cos ⁡ 1 b = cos ⁡ 0 = 1

Logo:

l i m b → ∞ ∫ 1 b 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = - 2 + cos ⁡ 1 + 2 sen ⁡ 1

Resposta

A integral imprópria é convergente:

∫ 1 ∞ 1 x 4 sen ⁡ 1 x d x = - 2 + cos ⁡ 1 + 2 sen ⁡ 1

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