7. Integrais impróprias

a) ∫ 1 + ∞ 2 - x d x

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos resolver a integral ∫ 1 + ∞ 2 - x d x .

Repara que um dos limites é igual a infinito, então chamamos de integral imprópria.

Pra resolver essa integral, primeiro substituímos o infinito por uma letra qualquer e calculamos a integral normalmente.

Depois calculamos o limite dessa função que sobrou com a letra tendendo ao infinito.

Se o limite existir como um número finito, então dizemos que é convergente, maaas se encontramos ±   ∞ , chamamos de divergente.

Bora botar a mão na massa que fica mais fácil de enxergar...

Passo 2

Primeiro vamos trocar o mais infinito por a :

∫ 1 + ∞ 2 - x d x = ∫ 1 a 2 - x d x

Lembrando que sabemos a integral, por ser tabelada:

∫ b x = b x ln ⁡ b + C

Maaas temos 2 - x , então vamos usar substituição simples:

u = - x

d u = - d x

E os limites de integração ficam:

x = 1 → u = - 1

x = a → u → - a

A integral fica:

∫ 1 a 2 - x d x = - ∫ - 1 - a 2 u d u

Passo 3

Resolvendo a integral:

= - 2 u ln ⁡ 2 - 1 - a

= 2 - 1 ln ⁡ 2 - 2 - a ln ⁡ 2

= 1 2 ln ⁡ 2 - 1 2 a ln ⁡ 2

Calculando o limite:

lim a → + ∞ ⁡ 1 2 ln ⁡ 2 - 1 2 a ln ⁡ 2 = 1 2 ln ⁡ 2

Portanto, a integral é convergente.

Resposta

1 2 ln ⁡ 2

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