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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Avalie a convergência da integral imprópria

∫ 4 ∞ x - 1 - 3 2 d x

Passo 1

A gente pode reescrever essa integral dessa forma:

∫ 4 ∞ x - 1 - 3 2 d x = lim c → ∞ ⁡ ∫ 4 c x - 1 - 3 2   d x

Avaliar a convergência da integral é dizer se essa integral converge ou diverge. E isso é dizer se esse limite dá um número ou explode para ± ∞ . E para calcular esse limite, faz sentido a gente calcular essa integral definida né:

∫ 4 c x - 1 - 3 2   d x

Aí depois a gente faz c → ∞ para descobrir o valor do limite. Vem comigo!

Passo 2

Percebe que a integral tem um termo linear ali, o x - 1 e isso está dentro de uma única potência sozinha no integrando. Isso são dicas de que a gente pode usar uma substituição simples. Vamos chamar o termo linear de u . Olha como fica:

u = x - 1 ∴ d u d x = 1 ∴ d u = d x

Substituindo essas coisas na integral:

∫ x - 1 - 3 2 d x = ∫ u - 3 2 d u = u - 3 2 + 1 - 3 2 + 1 = u - 1 2 - 1 2 = - 2 u - 1 2

Aí voltando para x e aplicando nossos extremos de integração, já que u = x + 2 :

∫ x - 1 - 3 2 d x = - 2 u - 1 2 = - 2 x - 1 - 1 2

∴

∫ 4 c x - 1 - 3 2   d x = - 2 x - 1 - 1 2 4 c = - 2 c - 1 - 1 2 + 2 4 - 1 - 1 2

Passo 3

Agora a gente substitui isso que achou no limite:

∫ 4 ∞ x - 1 - 3 2 d x = lim c → ∞ ⁡ ∫ 4 c x - 1 - 3 2   d x = lim c → ∞ ⁡ - 2 c - 1 - 1 2 + 2 4 - 1 - 1 2

Vamos calcular esse limite:

lim c → ∞ ⁡ - 2 c - 1 - 1 2 + 2 4 - 1 - 1 2 = lim c → ∞ ⁡ - 2 c - 1 - 1 2 + 2 3 - 1 2

Podemos usar uma propriedade de potência e escrever:

lim c → ∞ ⁡ - 2 c - 1 - 1 2 + 2 3 - 1 2 = lim c → ∞ ⁡ - 2 c - 1 1 2 + 2 3 1 2

lim c → ∞ ⁡ - 2 c - 1 + 2 3 = 0 + 2 3 = 2 3

Repara que o primeiro termo zera porque o denominador dele tende ao infinito. E aí nosso limite dá um número! Ou seja, nossa integral converge e é igual a 2 / 3 .

Resposta

Converge

∫ 4 ∞ x - 1 - 3 2 d x = 2 3

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