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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Considere as seguintes integrais impróprias

I 1 : ∫ 2 + ∞ 1 x ln ⁡ x d x

I 2 : ∫ 0 + ∞ x x 4 + 1 d x

Analise a convergência de cada uma.

Passo 1

Começando com a integral I 1 . Primeiro temos que tirar o infinito do intervalo de integração.

∫ 2 + ∞ 1 x ln ⁡ x d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 2 b 1 x ln ⁡ x d x

Passo 2

Agora vamos resolver a integral indefinida

∫ 1 x ln ⁡ x d x

Faremos a seguinte substituição:

u = ln ⁡ x

d u = 1 x d x

A integral se torna:

∫ 1 u d u =

ln ⁡ u + C

Voltando para a variável x :

ln ⁡ ( ln ⁡ x ) + C

Passo 3

Agora podemos fazer a integral definida.

∫ 2 b 1 x ln ⁡ x d x = ln ⁡ ( ln ⁡ x ) 2 b = ln ⁡ ( ln ⁡ b ) - ln ⁡ ( ln ⁡ 2 )

E finalmente o limite:

l i m b → ∞ ln ⁡ ( ln ⁡ b ) - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞ - ln ⁡ ln ⁡ 2 = ∞

Portanto, essa integral é divergente.

Passo 4

Agora é vez da integral I 2 . Primeiro temos que tirar o infinito do intervalo de integração.

∫ 0 + ∞ x x 4 + 1 d x = lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b x x 4 + 1 d x

Passo 5

Agora vamos resolver a integral indefinida

∫ x x 4 + 1 d x

Faremos a seguinte substituição:

u = x ²

d u = 2 x d x

A integral se torna:

1 2 ∫ 1 u 2 + 1 d u =

1 2 arctan ⁡ u + C

Voltando para a variável x :

1 2 arctan ⁡ x ² + C

Passo 6

Agora podemos fazer a integral definida.

∫ 0 b x x 4 + 1 d x = 1 2 arctan ⁡ x ² 0 b = 1 2 arctan ⁡ b ² - 1 2 arctan ⁡ 0 2 = 1 2 arctan ⁡ b 2 - 0 = 1 2 arctan ⁡ b ²

E finalmente o limite:

l i m b → ∞ 1 2 arctan ⁡ b ² = 1 2 l i m b → ∞ arctan ⁡ b ² = 1 2 . π 2 = π 4

Portanto, essa integral é convergente para π 4 .

Resposta

I 1   d i v e r g e   e n q u a n t o   I 2   c o n v e r g e   p a r a   π 4

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