Nos exercícios a use a definição para verificar se a integral imprópria converge ou diverge. Calcule o valor das integrais impróprias que converge.
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Passo 1
Cara, estamos calculando uma integral imprópria de até o e temos que ter certo cuidado com isso, pois a função tem que ser contínua em toda a reta. Se não for, temos que separar até onde é, saca?
Masss, para a nossa alegria, é contínua para todo o (pois não tem nenhum problema de definição, uma divisão por zero ou algo assim).
Agora note que temos um módulo ali e para fazer a análise temos eliminá-lo. Bem, sabemos que do em diante, o valor do módulo é uma coisa, e do pra trás é outra...
Então, temos que dividir a integral em duas
Repare que essa igualde só é verdadeira pois essa função é continua em toda a reta, ok?
Passo 2
Como a integral é fácil de calcular, pra testar, calculemos e testamos se converge ou não, saca? Vamos começar com a primeira:
Troquemos esse por um número e depois façamos esse tender ao infinito, ou seja, um limite...
Integral da exponencial... É a exponencial mesmo...
Quando vai para o infinito, essa fração vai a , logo...
Passo 3
Calculemos agora a segunda integral imprópria
De uma forma bem semelhante, troquemos o infinito por um e jogamos esse indo para o infinito:
novamente a fração vai a e o resultado é...
Passo 4
Como as duas integrais convergiram e já vimos que por serem contínuas é válida a expressão
Então a integral que queremos também converge e converge pra soma...
Resposta
Integral convergente