UFABC-Função de uma variável - Lista 11 integral impropria
Determine para quais os valore de > 0 cada integral converge, e nesse caso, calcule a integral.
Passo 1
Pessoal, primeiramente precisamos analisar essa função. Se você analisar direitinho, temos que o problema dessa função é quando ela se aproxima do .
Olha só temos o probleminha quando o se aproxima do né? Porque é um problema?
Vamos lá.
Sendo assim, temos que isso se enquadra em um problema de integral imprópria. Mas antes de tudo vamos bater um papo sobre esse tipo de integral?
Bem amiguinho o conceito de integral imprópria é um conceito na qual você soma infinitos pedacinhos, mas ela pode ser analisada com pontos em proximidades a indeterminações.
isso aí, o conceito de integral imprópria é uma espécie de soma chamada soma de Riemann. Então quando você tem algo desse tipo aqui:
Você está somando pedacinhos da primitiva dá de até . Então, você deve sacar que somar infinitos pedacinhos dessa primitiva. Então analisar isso de forma direta é complicado, mas temos uma sacadinha moral...
Então precisamos de uma maneira alternativa de somar essa soma, e já temos um conceito legal para fazer isso. Esse conceito é o conceito de limites, ou seja, vamos analisar o que acontece com essa soma quando ela se aproxima do infinito. Sendo assim, a nossa formulinha para resolver essa integral é algo assim:
Iae sacou? Toda vez que tiver uma integral dessa forma, chamada integral impropria vamos trocar o infinito por alguma letra qualquer e colocar a integral dentro de um limite dessa forminha.
Passo 2
Bem pessoal, vamos partir da formulinha da integral dada na questão que é essa aqui:
E para resolver vamos precisar colocar naquela formulinha com o limite deixando da seguinte forma:
Utilizamos isso porque quando vai para o nos percebemos que a função vai para a infinito, então a indeterminação é o .
Agora precisamos lembrar da seguinte propriedade:
Logo temos que:
Logo para a integral ser convergente temos que as seguintes condições precisam ser satisfeitas:
A segunda condição é realizada para que o ele vá para o denominador, se ele continua no numerador o limite explode para o infinito e faz com que a integral seja divergente. Só que a questão restringe o valor de sendo assim:
Gerando o seguinte conjunto solução: