Determine para quais os valore de p > 0 cada integral converge, e nesse caso, calcule a integral.

∫ 1 ∞ d x x p

Passo 1

Pessoal, primeiramente precisamos analisar essa função. Se você analisar direitinho, temos que o problema dessa função é quando ela se aproxima do .

Olha só temos o probleminha quando o x se aproxima do 0 né? Porque é um problema?

Vamos lá.

Sendo assim, temos que isso se enquadra em um problema de integral imprópria. Mas antes de tudo vamos bater um papo sobre esse tipo de integral?

Bem amiguinho o conceito de integral imprópria é um conceito na qual você soma infinitos pedacinhos, mas ela pode ser analisada com pontos em proximidades a indeterminações.

isso aí, o conceito de integral imprópria é uma espécie de soma chamada soma de Riemann. Então quando você tem algo desse tipo aqui:

∫ 0 ∞ f x d x

Você está somando pedacinhos da primitiva dá f ( x ) de 0 até . Então, você deve sacar que somar infinitos pedacinhos dessa primitiva. Então analisar isso de forma direta é complicado, mas temos uma sacadinha moral...

Então precisamos de uma maneira alternativa de somar essa soma, e já temos um conceito legal para fazer isso. Esse conceito é o conceito de limites, ou seja, vamos analisar o que acontece com essa soma quando ela se aproxima do infinito. Sendo assim, a nossa formulinha para resolver essa integral é algo assim:

lim A → ∞ ⁡ ∫ 0 A f x d x

Iae sacou? Toda vez que tiver uma integral dessa forma, chamada integral impropria vamos trocar o infinito por alguma letra qualquer e colocar a integral dentro de um limite dessa forminha.

Passo 2

Bem pessoal, vamos partir da formulinha da integral dada na questão que é essa aqui:

∫ 0 ∞ d x x p

E para resolver vamos precisar colocar naquela formulinha com o limite deixando da seguinte forma:

lim A → 0 ⁡ ∫ 1 A d x x p

Utilizamos isso porque quando x vai para o 0 nos percebemos que a função vai para a infinito, então a indeterminação é o 0 .

Agora precisamos lembrar da seguinte propriedade:

f x = 1 x p = x - p

Logo temos que:

lim A → 0 ⁡ ∫ 1 A d x x p = lim A → 0 ⁡ ∫ 1 A x - p d x = lim A → 0 ⁡ x 1 - p 1 - p     A 1 = lim A → 0 ⁡   1 1 - p ( 1 1 - p - A 1 - p )

Logo para a integral ser convergente temos que as seguintes condições precisam ser satisfeitas:

p ≠ 1

1 - P ≤ 0

A segunda condição é realizada para que o A ele vá para o denominador, se ele continua no numerador o limite explode para o infinito e faz com que a integral seja divergente. Só que a questão restringe o valor de p > 0 sendo assim:

p > 0   &   p   ≠   1   &   p ≤   1

Gerando o seguinte conjunto solução:

0 < p < 1

Resposta

lim A   →   0 + ⁡ ∫ A 1 1 x p d x = 1 1 - p 1 - p

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