UTFPR, Cornélio Procópio, Cálculo Avançado, Listas - Prof. Cláudia B. Medeiros - Lista 3, Questão 4
Calcule de a ao longo da parábola .
Passo 1
Fala aí galera, tudo beleza com vocês?
Nessa questão precisamos resolver uma integral de linha complexa, dada por:
onde varia de a , e a integral de linha é ao longo da parábola .
Pra resolver essas integrais de linha complexas, podemos usar a seguinte relação:
Mas quem é ?
Então, como trata-se de uma integral de linha a ideia é parametrizar a curva , fazendo:
E, associamos os limites de integração de para um valor de e .
Vem comigo que vai ficar mais claro!
Passo 2
Vamos começar parametrizando a nossa curva .
Como trata-se da parábola , podemos parametrizá-la como:
Assim, quando:
Quando:
Voltando para a nossa integral, queremos calcular:
Pela nossa parametrização, e dado a curva que estamos integrando, temos que:
Assim:
Logo, temos que:
Além disso, pela parametrização que escolhemos, temos que:
E, também:
Assim, como vimos no passo , a integral de linha complexa pode ser reescrita como:
Substituindo os nossos valores, teremos:
Massa! Nossa missão agora é resolver essas duas integrais definidas mais simples!
Passo 3
Vamos começar resolvendo a integral:
Como trata-se de uma integral polinomial, vamos ter:
Já na outra integral, temos:
Portanto, vamos ter que:
E é isso galera! Curtiram a solução?
Responde Aí!