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Exercícios Resolvidos de Integrais Impróprias – Limites Sendo Infinito

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Enunciado

Lista 4.12 - Lista de Integrais – UFSC – Cálculo 1 – Questão 5

A velocidade média das moléculas em um gás ideal é dada por

v m = 4 π M 2 R T 3 2 ∫ 0 ∞ v 3 e - M v 2 2 R T d v ,

Em que M é o peso da molécula do gás, R é a constante dos gases, T é a temperatura do gás e v é a velocidade molecular. Mostre que

v m = 8 R T π M

Passo 1

Falaeee, beleza? Vamos fazer assim primeiro.. vamos chamar k = M 2 R T pois é um termo que irá se repetir bastante, belezinha?

Dessa forma, temos que:

v m = 4 π k 3 2 ∫ 0 ∞ v 3 e - k v 2 d v

Agora vamos resolver essa integral que se encontra dentro dessa fórmula da v m !!

Passo 2

Temos que:

∫ 0 ∞ v 3 e - k v 2 d v

Fazendo uma substituição em que x = - k v 2 e d x = - 2 k v   d v , temos:

1 2 k 2 ∫ 0 ∞ x ∙ e x d x

Passo 3

Resolvendo a integral por partes, temos:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Logo, comparando com a nossa integral, temos:

u = x ∴ d u = d x d v = e x d x ∴ v = e x

Dessa forma, temos:

1 2 k 2 ∫ 0 ∞ x ∙ e x d x

= 1 2 k 2 x e x a 0 - ∫ 0 ∞ e x d x ∴

= 1 2 k 2 - k v 2 e - k v 2 - e - k v 2 ∞ 0 ∴

= lim v → ∞ ⁡ - 1 2 k 2 k v 2 + 1 e k v 2 - 1 2 k 2 0 - e 0 ∴

= 1 2 k 2

Passo 4

Dessa forma, substituindo o valor encontrado em v m = 4 π k 3 2 ∫ 0 ∞ v 3 e - k v 2 d v , temos:

v m = 4 π ∙ k 3 2 ∙ 1 2 k 2 ∴

v m = 2 π ∙ 2 R T M ∴

v m = 8 R T π M

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

v m = 8 R T π M

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