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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Passo 1

Pra começar vamos fazer algumas manipulações na nossa integral

∫ sen 4 ⁡ x d x =   ∫ sen 2 ⁡ x 2 d x

Passo 2

Precisamos lembrar que

sen 2 ⁡ x = 1 - cos ⁡ 2 x 2

Então

sen 2 ⁡ x 2 = 1 - cos ⁡ 2 x 2 2

( sen 2 ⁡ x ) 2 = 1 - 2 cos ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ 2 x 4

Passo 3

Com isso, podemos dividir nossa integral em 3 que já conhecemos

∫ sen 4 ⁡ x d x = ∫ 1 4 d x + ∫ - 2 4 cos ⁡ 2 x d x + ∫ cos 2 ⁡ 2 x 4 d x

∫ sen 4 ⁡ x d x = 1 4 ∫ d x - 1 4 ∫ 2 cos ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Passo 4

Precisamos fazer mais uma substituição, pra facilitar nossa vida

cos 2 ⁡ 2 x = 1 + cos ⁡ 4 x 2

Então nossa integral fica

∫ sen 4 ⁡ x d x = 1 4 ∫ d x - 1 4 ∫ 2 cos ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ 1 2 d x + ∫ cos ⁡ 4 x 2 d x

E resolvendo as integrais teremos

∫ sen 4 ⁡ x d x = 1 4 x - 1 4 sen ⁡ 2 x + 1 4 1 2 x + 1 8 sen ⁡ 4 x

∫ sen 4 ⁡ x d x = 1 4 x - 1 4 sen ⁡ 2 x + 1 8 x + 1 32 sen ⁡ 4 x

∫ sen 4 ⁡ x d x = 3 8 x - 1 4 sen ⁡ 2 x + 1 32 sen ⁡ 4 x + C

Não esqueça de colocar a constante de integração no final!

Resposta

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