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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 11 – Integrais Impróprias – Questão 2 – Alternativa g)

Calcule:

g )   ∫ sin 4 ⁡ ( x ) d x

Passo 1

Eaew, tudo certo contigo?

Temos um integrando que é um sin 4 ⁡ ( x ) , então vale a pena tentarmos diminuir o grau deste expoente, e para isso, vamos utilizar a seguinte relação:

sin 2 ⁡ ( x ) = 1 2 1 - cos ⁡ ( 2 x )

Bora lá!

Passo 2

Temos que nosso integrando fica da seguinte forma:

∫ sin 4 ⁡ ( x ) d x = ∫ sin 2 ⁡ ( x ) sin 2 ⁡ ( x ) d x = ∫ 1 2 1 - cos ⁡ ( 2 x ) 1 2 1 - cos ⁡ 2 x d x

Se expandirmos o produto, temos:

∫ 1 2 1 - cos ⁡ ( 2 x ) 1 2 1 - cos ⁡ 2 x d x = 1 4 ∫ 1 - 2 cos ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Ou, equivalentemente:

1 4 ∫ 1 - 2 cos ⁡ 2 x + cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x = 1 4 ∫ d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ cos 2 ⁡ ( 2 x ) d x

Ainda precisamos mexer um pouquinho na terceira integral! Bora fazer isso!

Passo 3

Vamos utilizar uma relação bem parecida com a que utilizamos no passo 1:

cos 2 ⁡ ( 2 x ) = 1 2 1 + cos ⁡ ( 4 x )

E, assim, nosso integrando toma a seguinte forma:

1 4 ∫ d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ cos 2 ⁡ 2 x d x = 1 4 ∫ d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ 1 2 1 + cos ⁡ ( 4 x ) d x

Ou

1 4 ∫ d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 4 ∫ 1 2 1 + cos ⁡ 4 x d x = 1 4 ∫ d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 8 ∫ d x + 1 8 ∫ cos ⁡ ( 4 x ) d x

Estamos quase lá! Vamos utilizar algumas integrais conhecidas! Belezinha?

Passo 4

Utilizando que:

∫ d x = x + C

E que

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = 1 a sin ⁡ ( a x ) + C

Temos que:

1 4 ∫ d x - 1 2 ∫ cos ⁡ 2 x d x + 1 8 ∫ d x + 1 8 ∫ cos ⁡ 4 x d x = 1 4 x - 1 2 1 2 sin ⁡ 2 x + 1 8 x + 1 8 1 4 sin ⁡ 4 x + C

Ou, juntando alguns termos:

∫ sin 4 ⁡ ( x ) d x = 3 8 x - 1 4 sin ⁡ 2 x + 1 32 sin ⁡ 4 x + C

Mais uma alternativa! A gente está com tudo! Bora para a próxima!

Resposta

∫ sin 4 ⁡ ( x ) d x = 3 8 x - 1 4 sin ⁡ 2 x + 1 32 sin ⁡ 4 x + C

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