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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

3a) Calcule as seguintes integrais definidas:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ

Passo 1

Que integral assustadora em! Mas relxa, vamos tirar ela de letra. Vamos pensar assim, temos termos trigonométricos elevador a números tanto pares quanto ímpares. Só que eles se relacionam por:

sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

E logo:

sin 2 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ sin 4 ⁡ θ = 1 - cos 2 ⁡ θ 2 cos 4 ⁡ θ = 1 - sin 2 ⁡ θ 2 ⋮ ⋮

Além disso:

sin ⁡ θ ' = cos ⁡ θ

cos ⁡ θ ' = - sin ⁡ θ

Usando essas relações, temos que propor uma substituição simples que deixe a integral toda em função de uma trigonométrica só. Como é o seno que está em grau impar, uma boa estratégia é fazer:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = ∫ 0 2 π sin 4 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

Dessa forma, teremos:

∫ 0 2 π sin 4 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = ∫ 0 2 π 1 - cos 2 ⁡ θ 2 cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ

Ok, mas ainda tem um seno pendurado ali em! Mas relaxa porque é aí que entra a derivada. Se substituirmos:

u = cos ⁡ θ

d u d θ = - sin ⁡ θ

d u = - sin ⁡ θ   d θ

Aquele seno pendurado some, saca só:

∫ 1 - cos 2 ⁡ θ 2 cos 4 ⁡ θ sin ⁡ θ   d θ = - ∫ 1 - u 2 2 u 4   d u

Passo 2

Ok, simplificamos a integral. Mas vamos lembrar que ela é definida. Então vamos modificar os limites de integração também:

u = cos ⁡ θ →   θ = 2 π ;               u = cos ⁡ 2 π = 1 θ = 0   ;               u = cos ⁡ 0 = 1

A integral fica:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = - ∫ 1 1 1 - u 2 2 u 4   d u

E olha, como os limites de integração são iguais, na verdade o resultado dessa integral, pelas propriedades de integrais, vai ser:

∫ 1 1 1 - u 2 2 u 4   d u = 0

E logo:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = 0

Se quiser, pode parar por aqui a questão porque ta respondida, mas vamos treinar um pouco a integração, ok?

Passo 3

Pra treinar a integração, não vamos alterar os limites de integração. Ficamos com:

- ∫ 1 - u 2 2 u 4   d u

Abrindo o termo ao quadrado, temos:

- ∫ 1 - 2 u 2 + u 4   u 4   d u =   - ∫ u 4 - 2 u 6 + u 8   d u

Integrando, ficamos com:

- ∫ u 4 - 2 u 6 + u 8   d u = - u 5 5 + 2 u 7 7 - u 9 9

Voltando a variável original:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = - cos 5 ⁡ θ 5 + 2 cos 7 ⁡ θ 7 - cos 9 ⁡ θ 9 θ = 0 θ = 2 π

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = - cos 5 ⁡ 2 π 5 + 2 cos 7 ⁡ 2 π 7 - cos 9 ⁡ 2 π 9 - - cos 5 ⁡ 0 5 + 2 cos 7 ⁡ 0 7 - cos 9 ⁡ 0 9

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = - 1 5 5 + 2 . 1 7 7 - 1 9 9 - - 1 5 5 + 2.1 7 7 - 1 9 9

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = - 1 5 + 2 7 - 1 9 - - 1 5 + 2 7 - 1 9

O que dá 0 porque os números são iguais:

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = 0

Resposta

∫ 0 2 π sin 5 ⁡ θ cos 4 ⁡ θ   d θ = 0

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