UFSC – Cálculo 1 – P3 – Questão 2a
Resolva as integrais indefinidas abaixo:
Passo 1
Fala galera, tudo bem?
Segura minha mão e vem comigo!
Começando pela letra (a):
Quando a gente enxerga uma integral com potências de senos e cossenos, precisamos lembrar logo da relação fundamental da trigonometria! Você lembra?
Relembrar é viver! Então tá aqui:
Podemos isolar na esquerda e temos o seguinte:
A ideia aqui é substituir o máximo de funções que a gente puder (ou o seno, ou o cosseno), sempre deixando um do outro, para podermos usar a técnica da substituição. Assim vamos ter (por exemplo o seno) e o (o cosseno daí) juntinhos.
Sacou?
Então vou abrir aquele em uma multiplicação de :
E agora substituir o pela relação fundamental:
Passo 2
Agora vamos reorganizar esses termos todos. O que tá pertinho do vamos multiplicar pelos termos dentro dos colchetes, e o vai ficar coladinho com o , pois esse vai ser nosso num futuro não tão distante...
Pronto! Agora podemos fazer a integração por substituição!
Passo 3
Mas qual substituição? Bom, pra saber isso você deve lembrar que queremos escolher uma função auxiliar tal que no integrando tenhamos também a sua derivada .
Vamos resgatar como ficou nossa integral depois de todas as transformações que fizemos:
Se escolhermos como função auxiliar , então a derivada de em relação a é , e isolando temos que:
Agora vamos substituir e no integrando:
Uma dica para você verificar se fez tudo certinho até aqui é verificar se sobrou alguma coisa com , se sobrou, sua substituição está com algum probleminha. Nesse ponto precisamos ter a integral toda em função de , belezinha?
Aqui é uma integração de potência com dois expoentes e , então essa integral vai ficar assim:
Para finalizar precisamos voltar para a expressão em que tínhamos, então lembrando que temos o resultado final bonitinho em função de :
Tudo certo até aqui? Vamos pra próxima?
Bora lá galera!
