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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Exercício 461234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

Calcule a integral indicada.

∫ 0 π 4 cos 3 ⁡ x   d x

Passo 1

Vamos primeiro eliminar esse cubo aí, fazendo:

cos 3 ⁡ x = cos ⁡ x . cos 2 ⁡ x

Passo 2

Daí aproveitamos a clássica relação:

cos 2 ⁡ x + sen 2 ⁡ x = 1

⇒ cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

O que nos dá:

cos 3 ⁡ x = cos ⁡ x 1 - sen 2 ⁡ x

⇒ cos 3 ⁡ x = cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x . cos ⁡ x

Passo 3

Logo,

∫ 0 π 4 cos 3 ⁡ x   d x = ∫ 0 π 4 cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x . cos ⁡ x   d x

= ∫ 0 π 4 cos ⁡ x   d x - ∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x   d x

Passo 4

A primeira parte da integral é:

∫ 0 π 4 cos ⁡ x   d x = sen ⁡ x   0 π 4

= sen ⁡ π 4 - sen ⁡ 0 = 2 2 - 0 = 2 2

Passo 5

A segunda parte é:

∫ 0 π 4 sen 2 ⁡ x cos ⁡ x   d x

Fazemos uma substituição simples u = sen ⁡ x ⇒ d u = cos ⁡ x   d x .

Assim nossos limites de integração passam a ser 0 , π 4 → sen ⁡ 0 , sen ⁡ π 4 = 0 , 2 2 .

Então nossa integral é igual a:

∫ 0 2 2 u 2   d u = u 3 3 0 2 2

= 2 2 3 3 - 0 3 3 = 2 2 8.3 - 0 = 2 12

Passo 6

Juntando tudo:

∫ 0 π 4 cos 3 ⁡ x   d x = 2 2 - 2 12

O que é igual a:

6 2 12 - 2 12 = 5 2 12

Resposta

5 2 12

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