UTFPR – Cálculo I – Atividade Avaliativa 3 (AV3) – Parte 1 – 2022.2 – Questão 4.
- Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Fala aí!!! Tudo belezinha com você?
Vem comigo resolver essa integral delicinha aqui!!!
Primeiro vamos entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função feiosa aqui.
Sim, ela é bem esquisita, mas tem uma coisa que deve chamar a nossa atenção assim que a gente bate o olho nela: essa integral envolve e , essas duas meninas são super parceiras na integração por substituição simples, pois quando derivamos uma delas, a derivada nos dá algo relacionado a outra.
Então a ideia base pra gente resolver essa integral é fazer algumas manipulações que nos permitam usar a integração por substituição simples. Sacou?!
Vem comigo que vou lhe mostrar como fazer isso.
Passo 2
Vamos abrir nossos trabalhos lembrando da seguinte relação:
E com isso podemos modificar um pouco a maneira como a está escrita em nossa integral. Veja:
Agora, onde está substituímos, ficando com:
Agora já somos capazes de usar a substituição simples nesse novo formato da integral. Vamos ver isso acontecendo no próximo passo.
Passo 3
A integral que queremos resolver ficou assim:
Agora, usando a substituição simples, vamos chamar
E derivando ficaremos com
Agora veja um detalhe importante: precisaremos desmembrar a
em
E jogar essa última pra pertinho da para que juntas elas formem o que acabamos de encontrar. 😉
Assim:
Show! Agora substituindo tudo, ficamos com:
Abrindo , teremos
Agora vamos fazer a multiplicação distributiva de , e a nossa integral se transformará em:
Agora basta integrar diretamente esses carinhas aí usando a regra do expoente.
E pronto, integral resolvida.
Mas lembre-se que nossa função original não estava na variável , mas sim na variável . Então vamos lembrar que fizemos:
Logo, o resultado da nossa integral é:
E assim encontramos finalmente o nosso resultado.
Sei que deu trabalho, mas no final valeu a pena. 😉
Bora para a próxima questão!!!