Sabendo-se que e são números inteiros positivos, mostre que
Passo 1
Bom, esse é um daqueles casos clássicos de Integral Trigonométrica. Tenho que buscar uma forma de, através de relações trigonométricas, simplificar a cara dessa integral aí. Tem uma que me vem à cabeça que trabalha justamente isso, um produto entre cossenos, olha:
Parece que complicou, mas quando a gente transforma um produto em uma soma, a gente facilita a nossa integral.
Então nossa função fica desse jeito:
Agora vamos analisar e .
Passo 2
Vamos começar com e substituir na fórmula,
Pronto, agora temos vamos integrar
Pronto! Provado que a integral vale para .
Passo 3
Agora vamos para . A nossa integral fica assim,
Aplicando as propriedades de integral podemos escrever assim,
Galera, lembra que e são números inteiros? Então o que teremos dentro do seno sempre será um , onde é qualquer número inteiro e quando isso acontece, temos:
Ou seja, o nosso seno vai sempre zerar.
Então teremos,
Pronto! Agora provamos que a integral vale para .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)