UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.8 – Questão 1f
Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:
Mas calma! Como vimos lá na lista de integração por substituição, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando e identificar uma substituição que seja favorável para você!
Como temos uma potência ÍMPAR de uma trigonométrica do tipo seno/cosseno podemos fazer a substituição , pois um pode ser escrito como a derivada do outro!
Então a ideia aqui é a seguinte: usar o método da substituição simples para resolver!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é:
Vamos resolver primeiro a indefinida, para depois aplicar os limites:
Podemos chamar e assim . Nossa integral fica assim:
Ficamos com uma integração de potência!
Vamos integrar?
E agora vamos voltar para , lembrando que :
Beleza? Estamos quase lá!
Passo 3
Agora nossa missão é aplicar os limites de integração! Resgatando lá do passo 1 nossa integral definida:
Agora é só substituir o resultado que encontramos no passo 2 e aplicar os limites:
Aí temos:
E simplificando teremos o resultado final:
Agora sim! Ufa! Terminamos!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?