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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Integração por Substituição

Calcule:

c   ∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ x d x

Passo 1

Eu sei abrir cos 2 ⁡ x em função do seno, né?

cos 2 ⁡ x = 1 - sen 2 ⁡ x

Fazendo isso na integral, sobraria apenas um cosseno por fora, acompanha:

∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ x d x = ∫ 0 π 2 1 - sen 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

= ∫ 0 π 2 cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

Repara que cosseno é a derivada do seno! Olha a substituição que vai simplificar tudo:

u = sen ⁡ x ; d u = cos ⁡ x d x

L i m i t e   i n f e r i o r : u = sen ⁡ ( 0 ) = 0

L i m i t e   s u p e r i o r : u = sen ⁡ π 2 = 1

∫ 0 π 2 cos ⁡ x - sen 2 ⁡ x cos ⁡ x d x

= ∫ 0 1 1 - u 2 d u

Agora podemos resolver de primeira

= u - u 3 3 [ 1 0

= 1 - 1 3 3 - 0 - 0 3 3

= 2 3

Resposta

∫ 0 π 2 cos 3 ⁡ x d x = 2 3

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