UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.8 – Questão 1n
Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:
Mas manipulando o integrando, podemos chegar a alguma coisa mais simpática! Mas como saber o que manipular? Te respondo: Sempre que houver tangente com expoente par: tente se livrar ao máximo de todas as tangentes!
Aqui vamos usar a identidade trigonométrica
E substituir no integrando:
Então agora nossa missão passa a resolver essas duas integrais!
Mas relaxa, vou fazer com você passo a passo!
Passo 2
A primeira integral é tabelada:
Mas a segunda não:
E quando você vir um integrando que não tem função-derivada da função dentro dele (que é nosso caso) você testa o método de integração por partes! Como vimos lá na lista de integração por partes, temos uma lista que vai te ajudar a separar esse integrando em uma parte para integrar e outra para derivar, é o nosso LIATE:
Lembrando que no método por partes precisamos integrar uma parte do integrando, e sabemos a integral de !
Usando o método de integração por partes, com
Poderemos integrar essa coisa!
Passo 3
Relembrar é viver, então vamos ao método de por partes:
Aí como comentei no passo anterior, nossa escolha para e os valores de são:
agora vamos aplicar na fórmula do método:
Vamos guardar esse resultado!
Tudo bem até aqui? Nossa missão agora é calcular aquela integral que surgiu na direita! Vamos lá?
Passo 4
A integral que surgiu na direita é:
Agora anota aí um ponto bem importante em trigonométricas: quando o integrando tiver tangente e secante, optar sempre por transformar tudo em secante! Tudo que for possível!
Então aqui vamos usar a identidade trigonométrica que envolve a tangente e a secante:
E substituir na integração:
Vamos devolver esse resultado no passo 3?
Passo 5
Resgatando o resultado do passo 3:
E substituindo a integral do lado direito:
Parece que ficou maior, mas te garanto que ficou melhor! Vamos retirar as integrais dos colchetes:
Olha só o que temos! Achamos a mesma integral que estamos calculando do lado esquerdo! Então podemos juntar elas:
E resolver a integral da secante do lado direito (ela é tabelada! Uhul!):
Agora é só isolar a integral da secante ao cubo:
Passo 6
E por fim vamos juntar esse resultado à nossa integral! Nossa integral era:
Aí separamos em duas:
A primeira é tabelada e a segunda calculamos agora pouco:
Podemos juntar os termos semelhantes e ter o resultado final:
Não esquece de acrescentar o no final! Estamos calculando uma integral indefinida!
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?