UTFPR – Cálculo I – Atividade Avaliativa 3 (AV3) – Parte 1 – 2022.2 – Questão 3.
- Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
Fala aí!!! Tudo belezinha com você? Bora comigo matar mais essa questão???
Bom, vamos primeiro entender o enunciado da questão. Ele está querendo que a gente resolva a integral dessa função aí. Repare que a função é na verdade uma multiplicação entre duas funções, a função e a função .
Então, antes de resolver a integral nós vamos desenvolver a multiplicação entre as funções e ver o que teremos. Depois faremos a integração de cada parte encontrada.
Vem comigo ver como fica.
Passo 2
Temos a integral
E podemos fazer a multiplicação distributiva das funções que estão no integrando, ficando com:
E para resolver essa integral podemos aplicar a regra da soma, que diz
Então, colocando as constantes fora da integral teremos duas integrais pra resolver
Vamos nos concentrar em cada uma delas de modo separado.
Passo 3
Vamos começar pela segunda integração, pois ela é um pouco mais fácil e também porque o resultado dela vai ajudar a gente a resolver a outra, ok?!
A integral de é tabelada e é igual a , mas aqui não temos exatamente e sim , então vamos usar uma substituição simples para resolvê-la.
Vamos chamar
E derivando ficamos com:
Assim, nossa integral se transforma em:
Colocando fora da integral teremos:
E resolvendo, ficamos com:
Mas não podemos esquecer que nossa função está em e não em , e por isso onde tive vamos escrever
Assim:
Maravilha, essa integral está resolvida, vamos guardá-la e olhar para a outra integral agora.
Passo 4
Vamos resolver agora a integral
Repara que temos algo um pouco mais complicadinho, pois a função que vamos integrar é um produto entre duas funções, a função e a função . Nesse caso, não podemos usar a integração por substituição simples, pois quando derivarmos uma parte da função, não encontramos a outra. Isso acontece porque as duas funções são de tipos diferente, temos que é uma função algébrica e temos o que é uma função trigonométrica.
Bom, em casos como esse vamos usar a integração por partes.
Agora, basta escolhermos quem na nossa função será o e quem será o . E para fazer essa escolha devemos pensar o seguinte: chamaremos de a parte da função que facilitará a nossa vida ao ser derivada. Por exemplo, se chamarmos de isso não irá nos ajudar, pois sua derivada é mais complicada do que ele mesmo. Então chamaremos
E
Repare que na fórmula da integral também precisaremos de e de . Para achar basta derivar e para achar teremos que integrar . Então, se:
Então:
E se:
Então:
E essa integral a gente fez agorinha a pouco no passo 3, então pode pegar o resultado e encaixar aqui
Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes e teremos:
Repare que ainda temos a última integral ali para resolver, mas ela a gente tira de letra porque já fizemos parecido antes. Vamos separar ela aqui pra resolver e depois a gente encaixa tudo aqui. Não se perca não. Ok?
Passo 5
Então olhando só pra ela agora, vamos usar uma substituição simples, fazendo:
E
Show!
Passo 6
Agora a gente volta lá e encaixa tudo. Assim:
Não esqueça que havia um 5, na frente dessa integral. Assim podemos escrever:
Show, agora que temos as duas integrais resolvidas, podemos juntá-las para formar nossa resposta e acrescentando nossa constante de integração, já que essa integral é indefinida. Ficando com:
E depois de tudo isso, finalizamos mais essa questão. 😊