UFSC – Cálculo 1 – Lista 4.8 – Questão 1a
Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
E aí pessoal, tudo bem?
Essa questão integral complicada, mas vou ajudar você aqui! O problema nos deu essa integral trigonométrica para resolver:
Mas calma! Como vimos lá na lista de integração por substituição, você está autorizado a usar truques sujos! Isso mesmo: truquinhos que vão te ajudar a separar esse integrando e identificar uma substituição que seja favorável para você!
Então a ideia aqui é a seguinte: usar a relação fundamental da trigonometria para ter seno/cosseno nesse integrando e usar o método da substituição simples para resolver! Ah, e depois aplicar nos limites de integração, claro!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Nossa integral é:
Podemos separar o integrando da seguinte forma:
E usar a relação fundamental
Aí nosso integrando fica:
Agora vamos substituir dentro da integral:
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos resolver a integral indefinida:
E no final aplicar os limites, ok?
Podemos chamar e assim . Nossa integral fica assim:
Ficamos com uma integração de potência! Vamos integrar? Vou abrir o integrando para facilitar
E integrar:
E agora vamos voltar para , lembrando que :
Tudo bem até aqui?
Passo 4
Agora vamos aplicar nos limites? Bora resgatar os limites lá do passo 2:
Transformamos o integrando e calculamos a integral:
Então agora é só substituir:
Aí temos:
E é isso!
Espero ter ajudado! Vamos para a próxima?