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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Integração por Substituição

Calcule:

a   ∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ x d x

Passo 1

Temos ali três senos de x para integrar. Acontece que sen ⁡ x é um múltiplo da derivada de cosseno e sabemos escrever os outros dois senos que sobram em função de cosseno, de acordo com a Lei fundamental da Trigonometria:

sen 2 ⁡ x = 1 - cos 2 ⁡ x

∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ x d x ∫ 0 π 3 sen 2 ⁡ x sen ⁡ x d x

= ∫ 0 π 3 1 - cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x

Fazendo a substituição do cosseno então:

u = cos ⁡ ( x ) → d u = - sen ⁡ x

Temos que mudar os limites também:

u i n f = cos ⁡ 0 = 1   ;   u s u p = cos ⁡ π 3 = 1 2

∫ 0 π 3 1 - cos 2 ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 1 2 1 - u 2 - d u

= ∫ 1 1 2 u 2 - 1 d u

Passo 2

∫ 1 1 2 u 2 - 1 d u = u 3 3 - u [ 1 / 2 1

= 1 2 3 3 - 1 2 - 1 3 3 - 1

= 1 24 - 1 2 - - 2 3

= - 11 24 + 16 24

= 5 24

Resposta

∫ 0 π 3 sen 3 ⁡ x d x = 5 24

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