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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

Calcule a integral indefinida:

∫ t a n 3 x d x

Passo 1

Aqui temos que fazer uma substituição na integral. Antes, vamos abrir essa tangente:

tg 3 ⁡ x = tg ⁡ x tg 2 ⁡ x

Lembra do seguinte, temos que o quadrado da tangente é dado, pela relação trigonométrica, por:

tg 2 ⁡ x + 1 = sec 2 ⁡ x   →     tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Voltando à integral, teremos:

∫ tg 3 ⁡ x d x = ∫ tg ⁡ x tg 2 ⁡ x d x

= ∫ tg ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 d x

Passo 2

Vamos abrir a integral em senos e cossenos:

∫ tg ⁡ x sec 2 ⁡ x - 1 d x = ∫ sen ⁡ x cos ⁡ x 1 cos 2 ⁡ x - 1 d x

= ∫ 1 cos 3 ⁡ x - 1 cos ⁡ x sen ⁡ x d x

Substituimos os cossenos por u agora:

cos ⁡ x = u       ;     d u = - sen ⁡ x d x   →     sen ⁡ x d x = - d u

Aplicando isso na integral, teremos:

∫ 1 cos 3 ⁡ x - 1 cos ⁡ x sen ⁡ x d x = ∫ 1 u 3 - 1 u - d u = ∫ d u u - u - 3 d u

= ln ⁡ u - u - 2 - 2 = ln ⁡ u + 1 2 u 2

Agora desfazemos a substituição:

ln ⁡ u + 1 2 u 2 = ln ⁡ cos ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x 2

Resposta

∫ tg 3 ⁡ x d x = ln ⁡ cos ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x 2 + C

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