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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2021, VF, Q5C

Resolva, desenvolvendo detalhadamente, as integrais abaixo:

  1. ∫ 0 π 2 2 sin ⁡ u sin ⁡ u + 1 + cos ⁡ u d u

  2. ∫ 2 x - x 2 d x

  3. ∫ ⁡ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x

Passo 1

Sigam-me os bons! Vamos manipular a integral pra chegarmos a recorrência de ∫ sec n ⁡ x d x ;

I = ∫ ⁡ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x = ∫ ⁡ ( sec 2 ⁡ x - 1 ) sec ⁡ x   d x

= ∫ sec 3 ⁡ x d x - ∫ sec ⁡ x d x

Observe que se aplicarmos integração por partes na primeira integral, obteremos;

u = sec ⁡ x d v = sec 2 ⁡ x d x ⇒ d u = sec ⁡ x tan ⁡ x d x v = tan ⁡ x

Logo,

∫ sec 3 ⁡ x   d x = ∫ u d v = u v - ∫ v d u

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ∫ ⁡ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x

= sec ⁡ x tan ⁡ x - I

Assim, teríamos:

I = ∫ ⁡ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x =

= sec ⁡ x tan ⁡ x - I - ∫ sec ⁡ x d x

= sec ⁡ x tan ⁡ x - ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x - I + C ,       C ∈ R

Passando I para o outro lado e dividindo por 2, temos:

I = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C ,       C ∈ R

Resposta

∫ ⁡ tan 2 ⁡ x sec ⁡ x   d x = 1 2 sec ⁡ x tan ⁡ x - 1 2 ln ⁡ sec ⁡ x + tan ⁡ x + C ,       C ∈ R

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