(c.1) Mostre que .
(c.2) Utilizando o item (c.1) calcule
(d.1) Mostre que .
(d.2) Utilizando o item (d.1), calcule
Passo 1
(c.1) Observe bem essa equação
Ela lembra um pouco essa aqui ne?
Talvez um bom palpite seja pensar que uma veio da outra. Repara só, a gente sabe que:
E
Olha o que acontece então se a gente dividir por
Uhul! Deu certo ���
Passo 2
(c.2) Pra calcular a integral
vamos substituir pelo seguinte:
Ai vai ficar:
Agora separamos em duas integrais.
Passo 3
Agora vamos resolvê-las separadamente e depois juntar. Essa aqui é tranquila:
E , faz como? Integração por partes!
Observe que temos a função multiplicando a função , que é justamente a derivada da função , por isso podemos usar essa técnica. Então fica:
Passo 4
Caramba! Surgiu outra integral pra calcular... Calma, vamos nessa que ta acabando!
Nessa vamos usar integração por substituição:
Voltando pra integral:
E retornando pra variável :
Passo 5
Pronto, agora é só juntar tudo. Vimos que:
E
Portanto
Passo 6
Passo 7
(d.1) Olhando bem pra essa relação, uma coisa que chama atenção é que estamos trabalhando com ângulos diferentes:
Uma identidade trigonométrica bastante comum que relaciona as funções e com ângulos distintos é
Se fizermos , aparece , que lembra o da relação que a gente quer deduzir. Então, vamos pegar essa identidade acima e fazer .
Passo 8
Já apareceu o e o . Acho que estamos no caminho certo. Pela relação
A gente consegue ver que
Substituindo:
Passo 9
(d.2) Como a questão pediu pra usar o item (d.1) vamos substituir o na integral.
Ajeitando isso vai ficar:
A primeira integral já sabemos calcular facilmente, eh
a segunda vai ser uma integração por partes. Assim:
Finalmente podemos juntar os resultados na expressão :
Resposta
(c.1) – dedução de formula-
(c.2)
(d.1) -dedução de formula-
(d.2)