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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

IME, Cálculo 1, 2019, VE2, Q1C

Resolva, desenvolvendo detalhadamente, as integrais abaixo. (Obs.: Não é permitido propor primitivas e derivá-las. As integrais devem ser resolvidas!)

  1. ∫ 2 x 3 + x + 2 x 5 + 1 x + x 3 d x
  2. ∫ 1 2 t + 1 t   d t
  3. ∫ 1 + sin ⁡ u   sec 3 ⁡ u d u

Passo 1

Diz-me as novas! Vamos algebrizar um pouco essa integral sabendo que podemos usar o fato de que sin ⁡ u ' = cos ⁡ u :

∫ 1 + sin ⁡ u   sec 3 ⁡ u d u = ∫ 1 + sin ⁡ u   cos 3 ⁡ u d u

= ∫ 1 + sin ⁡ u   1 - sin 2 ⁡ u cos ⁡ u d u

Onde utilizamos a identidade sin 2 ⁡ u + cos 2 ⁡ u = 1 . Prosseguindo, façamos a substituição t = sin ⁡ u , tal que d t = cos ⁡ u d u . Assim,

∫ 1 + sin ⁡ u   1 - sin 2 ⁡ u cos ⁡ u d u =

= ∫ 1 + t 1 2 1 - t 2 d t

= ∫ 1 + t 1 2 - t 2 - t 3 2   d t

= t + 2 3 t 3 2 - t 3 3 - 2 5 t 5 2 + C ,         C ∈ R

= sin ⁡ u + 2 3 sin 3 2 ⁡ u - sin 3 ⁡ u 3 - 2 5 sin 5 2 ⁡ u + C ,         C ∈ R

Resposta

∫ 1 + sin ⁡ u   sec 3 ⁡ u d u = sin ⁡ u + 2 3 sin 3 2 ⁡ u - sin 3 ⁡ u 3 - 2 5 sin 5 2 ⁡ u + C ,         C ∈ R

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