UFJF – Cálculo 2 – Lista, 2022.2 – 1e
Calcule as integrais:
e)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pediu pra gente resolver a integral:
Vamos pensar em como resolvê-la. Aqui a gente tem um produto de funções trigonométricas, o que complica um pouco a nossa vida. Não seria legal se fosse uma soma ou uma subtração?
Seria, e é possível a gente transformar esse produto em algo assim, que é mais fácil de resolver. Pra isso, nós podemos usar a propriedade trigonométrica:
Onde e são dois ângulos diferentes. No caso da nossa função, esses ângulos são e . Nós vamos usar essa fórmula para conseguir escrever a nossa função como uma adição ou subtração, e daí resolver a integral de uma forma mais simples.
Vamos lá!
Passo 2
Então, substituindo na fórmula, temos:
Agora vamos subtraindo uma equação da outra, nós temos:
E olha só quem apareceu, a nossa função original . Isolando ela, temos:
Encontramos uma subtração que vai ser mais simples de integrar, como nós queríamos. Agora vamos integrar.
Passo 3
Substituindo o resultado do passo na integral, temos:
Jogando a constante para fora da integral:
Nós podemos separar essa subtração em duas integrais, na forma:
Vamos resolver cada uma separadamente. Começando com , vamos chamar:
Derivando:
Substituindo na integral e resolvendo, temos:
Voltando a nossa variável original:
Passo 4
Agora para , vamos chamar:
Derivando:
Substituindo na integral:
Voltando à variável :
Agora juntando tudo na nossa integral original, temos:
E encontramos nosso resultado. Valeu, galera! 😉