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Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

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Enunciado

UFABC – Sem Campus – Funções de Uma Variável – Listas – Listas FUV – GRADMAT – Lista 9 – Técnicas de Integração I – Questão 3 – Alternativa c)

Usando que

sin ⁡ ( a ) sin ⁡ ( b ) = 1 2 ( cos ⁡ a - b - cos ⁡ ( a + b ) )

Calcule as seguintes integrais:

c )   ∫ sin ⁡ ( n x ) sin ⁡ ( m x ) d x

Passo 1

Bora continuar com as alternativas! Para resolver esta daqui podemos continuar seguindo o mesmo método que utilizamos na alternativa anterior! Topzera?

Passo 2

Podemos identificar que a = n x e b = m x , poderia ser o contrário, mas vamos fazer com essa escolha, beleza? Temos que:

∫ sin ⁡ ( n x ) sin ⁡ ( m x ) d x = ∫ 1 2 cos ⁡ ( n - m ) x - cos ⁡ ( n + m ) x d x

Vamos relembrar algumas propriedades de integração! Saca só!

Passo 3

De cara, nós temos que:

∫ cos ⁡ ( a x ) d x = 1 a sin ⁡ a x + C           ( 2 )

Não vamos esquecer da constante de integração, beleza? Também vale a pena lembrar que:

∫ [ a f x + b g ( x ) ] d x = a ∫ f ( x ) d x + b ∫ g ( x ) d x           ( 3 )

Bora usar isso para resolver a integral!

Passo 4

Usando a propriedade (3), temos que:

∫ 1 2 cos ⁡ ( n - m ) x - cos ⁡ ( n + m ) x d x = 1 2 ∫ cos ⁡ ( ( n - m ) x ) d x - 1 2 ∫ cos ⁡ ( ( n + m ) x ) d x

De forma que aplicando a equação (2), temos:

1 2 ∫ cos ⁡ n - m x d x - 1 2 ∫ cos ⁡ n + m x d x = →

→ = 1 2 1 n - m sin ⁡ ( n - m ) x + C 1 - 1 2 1 n + m sin ⁡ ( n + m ) x + C 2

Só vamos reescrever isso um pouquinho! Bora lá!

Passo 5

Temos que:

1 2 1 n - m sin ⁡ n - m x + C 1 - 1 2 1 n + m sin ⁡ n + m x + C 2 = →

→ = 1 2 ( n - m ) sin ⁡ ( n - m ) x - 1 2 ( n + m ) sin ⁡ ( n + m ) x + C 3

Só juntei as constantes em uma só C 3 = 1 2 C 1 + 1 2 C 2 . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!!

Resposta

∫ sin ⁡ ( n x ) sin ⁡ ( m x ) d x = 1 2 ( n - m ) sin ⁡ ( n - m ) x - 1 2 ( n + m ) sin ⁡ ( n + m ) x + C 3

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